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| Aufgabe | | Ermittle die Anzahl f(t) der Bakterien zur Zeit t für t>3 |
Hallo,
nachdem unsere Lehrer uns jetzt auf unser Abi vorbereiten wollen mussten wir einige Bsp. Aufgaben fürs Schriftliche berechnen. Leider bin ich jetzt auf ein Problem gestoßen, dass ich so nicht lösen kann.
Es gilt zunächst:
t = 0 [mm] \rightarrow [/mm] 100 Bakterien
Verdopplungszeit 40 min
Da die Funktion in Std angegeben werden soll lautet f(t) = 100 [mm] *(2^{3/2})^t
[/mm]
f(3) [mm] \approx [/mm] 2262,74
Danach verlangsamt sich das Wachstum. Die Wachstumsgeschwindigkeit nimmt stündlich um [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ab.
f'(t) = [mm] 100*ln(2^{3/2})*(2^{3/2})^t
[/mm]
f'(3) [mm] \approx [/mm] 2352,6
Da sich dieser Wert nun std. um ein Drittel verringert folgt
g'(t) = [mm] 43200*\wurzel{2}*ln(2^{3/2})*(\bruch{1}{3})^t
[/mm]
Nun soll ich die Anzahl der Bakterien zur Zeit t>3 ermitteln. Dazu muss ich g(t) bilden, also das Integral, da ich aber den ln(1/3) in der Funktion erhalte, ist der Wert negativ und ich kann nicht eine negative Anzahl an Bakterien erhalten. Ich habe schon mit verschiedene Additionen und Subtraktionen, etc. probiert, erhalte aber nie ein befriedigendes Ergebnis, vielleicht habt ihr ja eine Idee.
Die Anzahl der Bakterien muss sich rein logisch einem festen Wert nähern!
Gruß
Rachel
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Hallo!
> Ermittle die Anzahl f(t) der Bakterien zur Zeit t für t>3
> Hallo,
> nachdem unsere Lehrer uns jetzt auf unser Abi vorbereiten
> wollen mussten wir einige Bsp. Aufgaben fürs Schriftliche
> berechnen. Leider bin ich jetzt auf ein Problem gestoßen,
> dass ich so nicht lösen kann.
> Es gilt zunächst:
> t = 0 [mm]\rightarrow[/mm] 100 Bakterien
> Verdopplungszeit 40 min
> Da die Funktion in Std angegeben werden soll lautet f(t)
> = 100 [mm]*(2^{3/2})^t[/mm]
> f(3) [mm]\approx[/mm] 2262,74
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Danach verlangsamt sich das Wachstum. Die
> Wachstumsgeschwindigkeit nimmt stündlich um [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> ab.
> f'(t) = [mm]100*ln(2^{3/2})*(2^{3/2})^t[/mm]
> f'(3) [mm]\approx[/mm] 2352,6
> Da sich dieser Wert nun std. um ein Drittel verringert
> folgt
> g'(t) = [mm]43200*\wurzel{2}*ln(2^{3/2})*(\bruch{1}{3})^t[/mm]
> Nun soll ich die Anzahl der Bakterien zur Zeit t>3
> ermitteln. Dazu muss ich g(t) bilden, also das Integral, da
> ich aber den ln(1/3) in der Funktion erhalte, ist der Wert
> negativ und ich kann nicht eine negative Anzahl an
> Bakterien erhalten. Ich habe schon mit verschiedene
> Additionen und Subtraktionen, etc. probiert, erhalte aber
> nie ein befriedigendes Ergebnis, vielleicht habt ihr ja
> eine Idee.
> Die Anzahl der Bakterien muss sich rein logisch einem
> festen Wert nähern!
> Gruß
> Rachel
Hier mußt Du Dir überlegen, ob der Term [mm] $\left(\frac{1}{3}\right)^t$ [/mm] genau das beschreibt, was Du willst.
Moralisch natürlich schon, aber wenn Du den Term einfach so dranschreibst, verringert sich die Geschwindigkeit doch schon ab $t=0$ und nicht erst ab $t=3$, oder?
Wie muß es stattdessen heißen?
Gruß,
Christian
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> Hier mußt Du Dir überlegen, ob der Term
> [mm]\left(\frac{1}{3}\right)^t[/mm] genau das beschreibt, was Du
> willst.
> Moralisch natürlich schon, aber wenn Du den Term einfach
> so dranschreibst, verringert sich die Geschwindigkeit doch
> schon ab [mm]t=0[/mm] und nicht erst ab [mm]t=3[/mm], oder?
> Wie muß es stattdessen heißen?
>
> Gruß,
> Christian
Das habe ich gemacht, so sieht der Term nach dem Umstellen aus, vorher war das ganze [mm] (\bruch{1}{3})^{t-3}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 So 05.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo rachel
Deine Rechnung für g'(t) hab ich nicht nachgeprüft . Aber :
[mm] \integral_{a}^{b}{3^{-t} dt}= \integral_{a}^{b}{e^{-ln3*t} dt}>0 [/mm] falls a<b denn 1. e^-{ln3*t}>0, wenn der Integrand im ganzen Gebiet >0, dann auch das Integral! Es liegt daran, dass zwar das nbestimmte Integral ein neg Vorzeichen hat, das bestimmte aber nicht ,da der Wert bei a größer als bei b ist. also [mm] \integral_{3}^{t}{f(t) dt}>0
[/mm]
Ich hoff, das klärt deine Schwierigkeit.
Gruss leduart
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