Exponentielles Wachstum < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Rambo |
| Aufgabe | In einem Lexikon steht, dass bestimmte Fichtenarten bis zu 60 m hoch werden können.
Ermitteln Sie, welche Höhe eine Fichte, deren Wachstum durch die Funktion f(t) = 0,002t² * [mm] e^{-0,1t} [/mm] beschrieben wird, maximal erreichen kann (gerundet auf ganze Meter) |
Die restlichen aufgaben konnte ich schon alleine lösen jedoch habe ich probleme bei dieser aufgabe wie ich vorgehen muss.
Vielen Dank für euren Tip!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mi 27.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Funktion [mm] f(t)=0,002t²*e^{-0,1t} [/mm] gibt dir ja an, wieviel Meter die Fichte im Jaht t wächst. Wenn du die Höhe im Jaht T ermitteln willst, brauchst du das Integral zu Hilfe. Die "Höhenfunktion" H(T) lautet also:
[mm] H(T)=\integral_{0}^{T}0,002t²*e^{-0,1t}dt
[/mm]
Diese Funktion kannst du nun auf ein Maximum untersuchen, da die Fichte ja nicht schrumpft, liegt das Maximum wahrscheinlich im unendlichen, so dass du den Grenzwert [mm] \limes_{T\to\infty}H(T) [/mm] bestimmen musst.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Rambo |
und wie kann ich diese funktion auf ein maximum unter suchen?
wenn t gegen unendlich geht ist ja klar das es gegen 0 geht bzw. die e funktion da ja keine negativen werte herauskommen können.
aber wie berechne ich dann die eigentliche aufgabenstellung,also die höhe die die fichte maximal erreichen kann?
|
|
|
| |
|
> und wie kann ich diese funktion auf ein maximum unter
> suchen?
Hallo,
wie Marius schon sagt: die Fichte schrumpft ja nicht zu irgendeinem Zeitpunkt, sondern ihre Größe wächst permanent.
Sie hat ihre größte Größe also zum Ende ihrer Lebensdauer bekommen, und nach oben abschätzen kannst Du die mögliche Endgröße, wenn Du, wie von Marius gesagt, den Grenzwert von H(T) für T [mm] \to \infty [/mm] untersuchst.
Hierzu wist Du erst das Integral berechnen müssen, das kann man mit partieller Integration machen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Nur mal ebend ne kleine Frage, weil ich gerade auch so ein bisschen am Auffrischen bin.
Naja ich komme nach 2 maliger partieller Integration auf
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e^{-0,1n}*(0,002n²-0,004n-0,004)-(e^{0}*(-0,004)) [/mm] = 0,004
Damit begründet, dass die e Funktion schneller gegen 0 strebt als die ganzrationale Funktion in der Klammer gegen Unendlich; aber ist ja eigentlich auch egal.
Auf jeden Fall ist das Ergebnis ja irgendwie mumpitz.
Darf ich [mm] e^{-0,1x} [/mm] einfach u'(x) setzen; ist dann u(x) auch [mm] e^{-0,1x}?
[/mm]
Habe spontan dazu leider auch keine Aufgabe in meinen Unterlagen gefunden; da verfluche ich manchmal den CAS, den ich in der Oberstufe nutzen musste. :(
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maggons!
Wenn Du hier substituierst, kommst Du schnell drauf, dass gilt:
[mm] $$\integral{e^{-0.1*x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{-0.1}*e^{-0.1*x}+c [/mm] \ = \ [mm] -10*e^{-0.1*x}+c$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Ohwei, natürlich.
Kaum bin ich aus der Schule raus, schon verblöde ich total :p
Nur, um es auch mal wieder vollständig zu machen:
[mm] \integral{e^{-0,1t} dt} [/mm] Substitution -0,1t = z
z'=-0,1 = [mm] \bruch{dz}{dt} [/mm] <=> dt= [mm] \bruch{dz}{-0,1}
[/mm]
[mm] \integral{e^{z} \bruch{dz}{-0,1}} [/mm]
[mm] \integral{-10*e^{z}} [/mm] dz
= [mm] -10*e^{z} [/mm] +c Resubstitution z = -0,1t
= [mm] -10*e^{-0,1t} [/mm] +c
Hoffe, dass es daran nichts auszusetzen gibt.
Danke für den Denkanstoß :)
Ciao
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maggons!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Es ist mir fast schon ein wenig peinlich; aber ich muss mich nochmal aufdrängen.
Ich kriege einfach kein "logisches" Ergebnis raus und das lässt mir keine Ruhe :o
Meine Rechnung ward wie folgt:
[mm] \integral_{0}^{x}{0,002 t²\cdot{}e^{-0,1 t} dt}
[/mm]
= -0,02 [mm] t²\cdot{}e^{-0,1 t} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{x}{0,004 t\cdot{}e^{-0,1 t} dt}
[/mm]
=-0,02 [mm] t²\cdot{}e^{-0,1 t} [/mm] + 0,04 [mm] t\cdot{}e^{-0,1 t} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{x}{0,004 \cdot{}e^{-0,1 t} dt}
[/mm]
=-0,02 [mm] t²\cdot{}e^{-0,1 t} [/mm] + 0,04 [mm] t\cdot{}e^{-0,1 t} [/mm] - 0,04 [mm] \cdot{}e^{-0,1 t}
[/mm]
= [mm] [e^{-0,1 t} [/mm] * (-0,02t² + 0,04t + [mm] 0,04)]^{x}_{0}
[/mm]
Abschließend dann:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{-0,1 x} [/mm] * (-0,02x² + 0,04x + 0,04) - 0,04
Da der erste Ausdruck bedingt durch die e- Funktion gegen 0 strebt, erhalte ich als Ergebnis - 0,04.
Bilanziert |0,04|.
Aber das ist doch quatsch; hätte ich ein Ergebnis wie 40 m wäre ich ja glücklich aber so hoffe ich noch einmal für heute auf eure Hilfe.
Ich wäre auch sehr dankbar, falls jemand einen kommentar geben könnte, ob das so formal richtig aufgeschrieben wäre.
Ich war mir ein wenig unsicher wie man das wirklich bei der partiellen Integration schreiben soll.
Ich war mir nur noch der Tatsache relativ bewusst, dass man eher eine Konstante als obere Grenze einsetzen soll, welche man in einem weiteren Schritt gegen [mm] +\infty [/mm] laufen lassen soll, anstatt dass man [mm] +\infty [/mm] als obere Grenze des Integrals nutzen sollte.
Oder liege ich da auch noch falsch? :/
Mit besten Grüßen
Marco
|
|
|
| |
|
Hallo, dir ist in der 2. Zeile schon ein Fehler unterlaufen
[mm] \integral_{0}^{T}{0,002 t²\cdot{}e^{-0,1 t} dt}
[/mm]
u=0,002 t²
u'=0,004t
[mm] v'=e^{-0,1 t}
[/mm]
[mm] v=-10e^{-0,1 t}
[/mm]
der Term u*v ist korrekt, aber [mm] -\integral_{}^{}{v*u' dt} [/mm] lautet
[mm] -\integral_{}^{}{-10e^{-0,1 t}*0,004t dt}
[/mm]
[mm] -\integral_{}^{}{-0,04*t*e^{-0,1 t} dt}
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Au man, ich muss unbedingt wieder mehr Mathe machen.
Noch nicht mal mehr die Regel der partiellen Integration kann ich mehr aus dem Kopf :(
Ok, also hier nochmal; diesmal hoffentlich korrekt.
$ [mm] \integral_{0}^{x}{0,002 t²\cdot{}e^{-0,1 t} dt} [/mm] $
= -0,02 $ [mm] t²\cdot{}e^{-0,1 t} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{0}^{x}{-0,04 t\cdot{}e^{-0,1 t} dt} [/mm] $
=-0,02 $ [mm] t²\cdot{}e^{-0,1 t} [/mm] $ -0,4 $ [mm] t\cdot{}e^{-0,1 t} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{0}^{x}{-0,4 \cdot{}e^{-0,1 t} dt} [/mm] $
=-0,02 $ [mm] t²\cdot{}e^{-0,1 t} [/mm] $ -0,4 $ [mm] t\cdot{}e^{-0,1 t} [/mm] $ + $ 4 $ [mm] t\cdot{}e^{-0,1 t}
[/mm]
= $ [mm] [e^{-0,1 t} [/mm] $ * (-0,02t² + 0,4t - $ [mm] 4)]^{x}_{0} [/mm] $
Abschließend dann:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{-0,1 x} [/mm] $ * (-0,02x² + 0,4x + 4) - 4
Da der erste Ausdruck bedingt durch die e- Funktion gegen 0 strebt, erhalte ich als Ergebnis -4.
Bilanziert |4|.
Leider kann mich selbst dieses Ergebnis noch nicht so recht überzeugen.
Vor allem die stetigen Vorzeichenwechsel haben mir hier auch zu schaffen bereitet.
Ob das nun so stimmt?
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Dummerweise habe ich eine Mitteilung geschrieben und finde die Funktion "Mitteilung zu einer Frage umwandeln!" nicht mehr.
Daher auf diese Weise:
Wäre sehr nett, falls jemand mir obiges Ergebnis bestätigen könnte bzw mich auf einen weiteren Fehler aufmerksam machen könnte.
Mit freundlichsten Grüßen und vorab bestem Dank
Marco
|
|
|
| |
|
Hallo Marco,
> Hallo!
>
> Au man, ich muss unbedingt wieder mehr Mathe machen.
> Noch nicht mal mehr die Regel der partiellen Integration
> kann ich mehr aus dem Kopf :(
> Ok, also hier nochmal; diesmal hoffentlich korrekt.
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{0,002 t²\cdot{}e^{-0,1 t} dt}[/mm]
>
> = -0,02 [mm]t²\cdot{}e^{-0,1 t}[/mm] - [mm]\integral_{0}^{x}{-0,04 t\cdot{}e^{-0,1 t} dt}[/mm]
>
> =-0,02 [mm]t²\cdot{}e^{-0,1 t}[/mm] -0,4 [mm]t\cdot{}e^{-0,1 t}[/mm] - [mm]\integral_{0}^{x}{-0,4 \cdot{}e^{-0,1 t} dt}[/mm]
>
> =-0,02 [mm]t²\cdot{}e^{-0,1 t}[/mm] -0,4 [mm]t\cdot{}e^{-0,1 t}[/mm] + [mm]4[/mm] [mm]t\cdot{}e^{-0,1 t}[/mm]
Hier hat sich aber ein VZF und ein t zuviel eingeschlichen:
[mm] $=-0,02t²\cdot{}e^{-0,1 t}-0,4t\cdot{}e^{-0,1 t}\red{-4}\cdot{}e^{-0,1 t} [/mm] \ [mm] \big|_0^x$
[/mm]
>
> = [mm][e^{-0,1 t}[/mm] * (-0,02t² + 0,4t - [mm]4)]^{x}_{0}[/mm]
Hier stimmt das VZ bei der hinteren 4, aber das mittlere hast du falsch von oben abgeschrieben ... 
Es sollte lauten [mm] $\left[e^{-0,1t}\cdot{}\left(-0,02t^2-0,4t-4\right)\right]_0^x$
[/mm]
>
>
> Abschließend dann:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} e^{-0,1 x}[/mm] * (-0,02x² + 0,4x + 4) - 4
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier ist ein VZ-Chaos:
Die Grenzen eingesetzt:
[mm] $=e^{-0,1x}\cdot{}\left(-0,02x^2-0,4x-4\right) [/mm] \ - \ [mm] \red{\left(}e^0\cdot{}\left(0-0-4\right)\red{\right)}=e^{-0,1x}\cdot{}\left(-0,02x^2-0,4x-4\right) [/mm] \ + \ 4$
>
> Da der erste Ausdruck bedingt durch die e- Funktion gegen 0
> strebt,
die Klammer strebt aber doch gegen [mm] $-\infty$, [/mm] das wäre [mm] $0\cdot{}(-\infty)$, [/mm] also unbestimmt.
Dass das insgesamt trotzdem gegen 0 strebt, stimmt zwar, aber die Begründung nicht! (zumindest reicht sie (mir) nicht )
> erhalte ich als Ergebnis -4.
In der "verbesserten" Version direkt +4
>
> Bilanziert |4|.
>
> Leider kann mich selbst dieses Ergebnis noch nicht so recht
> überzeugen.
> Vor allem die stetigen Vorzeichenwechsel haben mir hier
> auch zu schaffen bereitet.
Das machte den Anschein
>
> Ob das nun so stimmt?
So ziemlich, ja!
>
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:50 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Vielen Dank für das Korrekturlesen.
Werde dann morgen früh nochmal die VZ- Fehler bereinigen; bei der Aufgabe hier brauch ich einen kühlen Kopf dafür.
Sonst kann ich ja inzwischen "einigermaßen zufrieden" sein.
Nochmals vielen Dank
Ciao, Lg
Marco
|
|
|
|
