Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 So 06.07.2008 | | Autor: | Dave11 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^2->\IR^2 [/mm] gegeben durch [mm] f(x,y)=\phi(x,y)^4 [/mm] mit [mm] \phi(x,y)=x^2+y^2-5.
[/mm]
Finden Sie alle lokalen Extrema von f und bestimmen Sie ihren Typ. |
Guten Tag zusammen,
ich bereite mich gerade auf meine Analysis II Prüfung vor
und habe da mal eine Frage.Ich habe Folgende Aufgabe(s.o) bearbeitet.
Also was ich mir gedacht habe:
[mm] Df(x,y)=(8x(x^2+y^2-5)^3;8y(x^2+y^2-5)^3) [/mm] Df(x,y)=0 <=> (x,y)=(0,0) und [mm] (x,y)\in \{(x,y)\inIR:x^2+y^2=5\}=:B
[/mm]
Kritische Punkte:
(x,y)=(0,0) [mm] (x,y)\in \{(x,y)\in\IR:x^2+y^2=5\}
[/mm]
Das müssten doch alle sein,oder?
Also kann ich foldendermaßen Argumentieren:
Da ich weiss das stets f(x,y) >= 0 ist, wegen der geraden Potenz
und das [mm] \forall (x,y)\in [/mm] B f(x,y)= (0,0)ist => f hat auf B ein globales Minimum.
Für (x,y)=(0,0) ist f(0,0)= [mm] (-5)^4 =5^4
[/mm]
Sei [mm] U_{(1/2)}(0,0).\forall (x,y)\in U_{(1/2)}(0,0) [/mm] ist [mm] f(x,y)
=>f hat in (0,0) ein lokales Maximum.
Habe ich vielleicht noch einen Kritischen Punkt übersehen,
oder ist das alles so richtig?
Würde mich freuen wenn mir da jemand mal helfen könnte.
Danke
Gruß Dave
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Hallo Dave11,
> Sei [mm]f:\IR^2->\IR^2[/mm] gegeben durch [mm]f(x,y)=\phi(x,y)^4[/mm] mit
> [mm]\phi(x,y)=x^2+y^2-5.[/mm]
> Finden Sie alle lokalen Extrema von f und bestimmen Sie
> ihren Typ.
> Guten Tag zusammen,
>
> ich bereite mich gerade auf meine Analysis II Prüfung vor
> und habe da mal eine Frage.Ich habe Folgende Aufgabe(s.o)
> bearbeitet.
>
> Also was ich mir gedacht habe:
>
> [mm]Df(x,y)=(8x(x^2+y^2-5)^3;8y(x^2+y^2-5)^3)[/mm] Df(x,y)=0 <=>
> (x,y)=(0,0) und [mm](x,y)\in \{(x,y)\inIR:x^2+y^2=5\}=:B[/mm]
>
> Kritische Punkte:
> (x,y)=(0,0) [mm](x,y)\in \{(x,y)\in\IR:x^2+y^2=5\}[/mm]
>
>
> Das müssten doch alle sein,oder?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also kann ich foldendermaßen Argumentieren:
>
> Da ich weiss das stets f(x,y) >= 0 ist, wegen der geraden
> Potenz
> und das [mm]\forall (x,y)\in[/mm] B f(x,y)= (0,0)ist => f hat auf
> B ein globales Minimum.
>
> Für (x,y)=(0,0) ist f(0,0)= [mm](-5)^4 =5^4[/mm]
> Sei
> [mm]U_{(1/2)}(0,0).\forall (x,y)\in U_{(1/2)}(0,0)[/mm] ist
> [mm]f(x,y)
> =>f hat in (0,0) ein lokales Maximum.
>
> Habe ich vielleicht noch einen Kritischen Punkt übersehen,
> oder ist das alles so richtig?
Es sind noch diejenigen Punkte (x,y) zu betrachten, welche in der Menge [mm]\{(x,y)\in\IR:x^2+y^2=5\}[/mm] liegen.
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> Würde mich freuen wenn mir da jemand mal helfen könnte.
> Danke
>
> Gruß Dave
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 So 06.07.2008 | | Autor: | Dave11 |
hallo, danke für deine Hilfe zuerstmal:)
Also ich weiss ,dass ich noch folgende Punkte kenne:
[mm] (0,\wurzel(5)),(\wurzel(5),0). [/mm] Wenn ich diese Punkte in der Hesse Matrix einsetze
bekomme ich nur eine positiv semi definite matrix und das würde doch
dann heissen das ich in diesen Punkten keine Extrema habe oder?
Oder muss ich noch was ganz anderes betrachten???
Wir haben in den Übungen nur eine Extremwertaufgabe gehabt,
deswegen fehlt mir da noch ein bischen die Praxis.
Wie müsste ich den vorgehen um wirklich alle zu finden?
MFG Dave
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 So 06.07.2008 | | Autor: | Dave11 |
Sollte natürlich noch ne Frage sein:)
MFG Dave
Ach könnte es etwas mit den Extrema unter Nebenbedingung zu tun haben????
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Hallo Dave11,
> Sollte natürlich noch ne Frage sein:)
>
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>>Also ich weiss ,dass ich noch folgende Punkte kenne:
>>$ [mm] (0,\wurzel{5}),(\wurzel{5},0). [/mm] $ Wenn ich diese Punkte in der Hesse Matrix einsetze
>>bekomme ich nur eine positiv semi definite matrix und das würde doch
>>dann heissen das ich in diesen Punkten keine Extrema habe oder?
Die Hesse-Matrix ist hier die Nullmatrix.
>>Oder muss ich noch was ganz anderes betrachten???
Du hast auch herausbekommen, daß die Punkt (x,y), die auf dem Kreis [mm]x^{2}+y^{2}=5[/mm] liegen, auch Kandidaten für mögliche Extrema sind.
Frage Dich zuerst einmal, welchen Wert die Funktion diese Punkte annimmt.
Und entscheide dann die Art der Extrema.
>>Wir haben in den Übungen nur eine Extremwertaufgabe gehabt,
>>deswegen fehlt mir da noch ein bischen die Praxis.
>>Wie müsste ich den vorgehen um wirklich alle zu finden?
Nun, in der Aufgabe war die Rede von den lokalen Extrema.
Um auch die globalen Extrema zu finden, sind auch die Ränder des Definitionsbereiches zu betrachten.
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> MFG Dave
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> Ach könnte es etwas mit den Extrema unter Nebenbedingung zu
> tun haben????
Nein. Hier ist keine Nebenbedingung gegeben.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 So 06.07.2008 | | Autor: | Dave11 |
hallo MathePower,
> Du hast auch herausbekommen, daß die Punkt (x,y), die auf
> dem Kreis [mm]x^{2}+y^{2}=5[/mm] liegen, auch Kandidaten für
> mögliche Extrema sind.
>
> Frage Dich zuerst einmal, welchen Wert die Funktion diese
> Punkte annimmt.
> Und entscheide dann die Art der Extrema.
Ja, sie nimmt für alle (x,y) aus meinem B den Funktionswert 0 an.
Also muss es lauter lokale Minima sein, da meine Funktionswerte
außerhalb von B ja immer größer werden als 0.
MFG Dave
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Hallo Dave11,
> hallo MathePower,
>
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> > Du hast auch herausbekommen, daß die Punkt (x,y), die auf
> > dem Kreis [mm]x^{2}+y^{2}=5[/mm] liegen, auch Kandidaten für
> > mögliche Extrema sind.
> >
> > Frage Dich zuerst einmal, welchen Wert die Funktion diese
> > Punkte annimmt.
> > Und entscheide dann die Art der Extrema.
>
> Ja, sie nimmt für alle (x,y) aus meinem B den Funktionswert
> 0 an.
> Also muss es lauter lokale Minima sein, da meine
> Funktionswerte
> außerhalb von B ja immer größer werden als 0.
>
>
Stimmt.
>
> MFG Dave
>
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 So 06.07.2008 | | Autor: | Dave11 |
hallo mathepower,
also jetzt nochmal alles zusammengefasst: Meine
Funktion hat genau ein lokales Maximum in 0 und lauter lokale Minimia
die auf B angenommen werden.
Damit hätte ich dann alle lokalen Extrema gefunden und meine Argumentation für das Maximum und für das Minimum wäre auch aussreichend in einer Klausur? :)
Gruß Dave
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Hallo Dave11,
> hallo mathepower,
>
> also jetzt nochmal alles zusammengefasst: Meine
> Funktion hat genau ein lokales Maximum in 0 und lauter
> lokale Minimia
> die auf B angenommen werden.
>
> Damit hätte ich dann alle lokalen Extrema gefunden und
> meine Argumentation für das Maximum und für das Minimum
> wäre auch aussreichend in einer Klausur? :)
Ja, sicher.
>
> Gruß Dave
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 So 06.07.2008 | | Autor: | Dave11 |
Vielen dank MathePower,
du hast mir sehr weitergeholfen....:)
Gruß Dave
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