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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:18 Do 23.06.2005 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Ich habe die Funktion [mm] f(x,y)=x^{2}-y^{2}-2x+1 [/mm] Gegeben und soll die lokalen/globalen Minima/Maxima und Sattelpunkte auf [mm] \IR^{2} [/mm] und der Kreisscheibe K((0,0),1) (in der euklidischen Norm) finden.
Ich habe jetzt die erste Ableitung mit: f'(x,y)=(2x-2 , -2y) und die zweite mit: f''(x,y)=(2 , 0 , 0 , -2) bestimmt.
Um die Extrema zu finden muss ich ja f'(x,y)=0 setzen, daraus ergab sich für mich die einzige Lösung x=1 und y=0.
Diese habe ich in f'' eingesetzt und die Lösung war indefinit, daraus folgt ja dann, dass die Funktion gar keine Extrema hat, oder liege ich da falsch?
Folgt jetzt aus der Indefinitheit, dass f einen Sattelpunkt bei (1,0) hat oder was?
Und wie sieht das ganze für den Fall der Kreisscheibe aus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:40 Do 23.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
ich hab da mal eine Anmerkung:
[mm]f(x,y)=x^{2}-y^{2}-2x+1[/mm]
[mm] = (x-1)^2 - y^2 [/mm]
(das ist natuerlich nch keine Antwort, aber es koennte dir helfen dir den Graphen vorzustellen. bzw. [mm]f(x+1,y)=x^2-y^2[/mm] vielleicht kannst du dir das leichter vorstellen)
lG
Peter
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Hallo bobby!
> Ich habe die Funktion [mm]f(x,y)=x^{2}-y^{2}-2x+1[/mm] Gegeben und
> soll die lokalen/globalen Minima/Maxima und Sattelpunkte
> auf [mm]\IR^{2}[/mm] und der Kreisscheibe K((0,0),1) (in der
> euklidischen Norm) finden.
>
> Ich habe jetzt die erste Ableitung mit: f'(x,y)=(2x-2 ,
> -2y) und die zweite mit: f''(x,y)=(2 , 0 , 0 , -2)
> bestimmt.
Wie eben: f''(x,y)= [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -2 }
[/mm]
>
> Um die Extrema zu finden muss ich ja f'(x,y)=0 setzen,
> daraus ergab sich für mich die einzige Lösung x=1 und y=0.
> Diese habe ich in f'' eingesetzt und die Lösung war
> indefinit,
Ja. Es sind die Ewe von f''(1,0) 2 und -2.
daraus folgt ja dann, dass die Funktion gar
> keine Extrema hat, oder liege ich da falsch?
Betrachtet auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] hat die Funktion keine Extremwerte.
>
> Folgt jetzt aus der Indefinitheit, dass f einen Sattelpunkt
> bei (1,0) hat
Ja.
> Und wie sieht das ganze für den Fall der Kreisscheibe aus?
Wenn es da lokale Extrema gäbe, hättest Du sie bereits gefunden. Zu untersuchen ist jetzt noch der Rand der Kreisscheibe. Stell Dir vor, Du stanzt aus dem Funktionengebirge ein kreisförmiges Stück aus. Da könnte es globale Extremwerte auf dem Rand geben. (denk mal kurz an die Funktionen einer Veränderlichen, die Du auf einem abgeschlossenen Intervall betrachtest. Da muß man ja auch noch die Intervallgrenzen untersuchen.)
Also der Kreis. Da gilt ja [mm] 1=x^{2}+y^{2}.
[/mm]
Wenn Du hiermit in deine Funktion gehst, müßtest Du zum Ziel kommen.
Gruß v. Angela
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