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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Do 23.06.2005 | | Autor: | bobby |
Ich habe folgende Funktion auf Minima und Maxima und Sattelpunkte zu untersuchen: [mm] f(x,y)=e^{x}xsin(y)
[/mm]
Die Ableitungen habe ich bestimmt:
[mm] f'(x,y)=(e^{x}(x+1)sin(y) [/mm] , [mm] e^{x}xcos(y))
[/mm]
[mm] f''(x,y)=(e^{x}(x+2)sin(y) [/mm] , [mm] e^{x}(x+1)cos(y) [/mm] , [mm] e^{x}(x+1)cos(y) [/mm] , [mm] -e^{x}xsin(y))
[/mm]
Für Extrema gilt ja: f'(x,y)=0
Daraus ergaben sich bei mir folgende Lösungen: (x,y)=(0, [mm] (2k-1)\bruch{\pi}{2}) [/mm] und [mm] (x,y)=(0,k\pi)
[/mm]
Die habe ich in f'' eingesetzt und da erhielt ich folgendes: f''(0, [mm] (2k-1)\bruch{\pi}{2})=(2, [/mm] 0 , 0 , 0) und [mm] f''(0,k\pi)=(0 [/mm] , -1 , -1 , 0) , so jetzt weis ich aber nicht so richtig wie/ob ich daraus jetzt Definitheit/Indefinitheit also Minima/Maxima schließen kann und wie das sich mit den Sattelpunkten verhält, ...
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> Ich habe folgende Funktion auf Minima und Maxima und
> Sattelpunkte zu untersuchen: [mm]f(x,y)=e^{x}xsin(y)[/mm]
>
> Die Ableitungen habe ich bestimmt:
Hallo bobby,
Deine Ableitungen habe ich nicht nachgerechnet, wir nehmen sie mal als richtig, und sortieren den Rest.
> [mm]f'(x,y)=(e^{x}(x+1)sin(y)[/mm] , [mm]e^{x}xcos(y))[/mm]
> [mm]f''(x,y)=(e^{x}(x+2)sin(y)[/mm] , [mm]e^{x}(x+1)cos(y)[/mm] ,
> [mm]e^{x}(x+1)cos(y)[/mm] , [mm]-e^{x}xsin(y))[/mm]
Meinst Du hier die Hessesche Matrix? Du solltest sie meinen...
f''(x,y)= [mm] \pmat{ e^{x}(x+2)sin(y) & e^{x}(x+1)cos(y) \\ e^{x}(x+1)cos(y) & -e^{x}xsin(y))}
[/mm]
>
> Für Extrema gilt ja: f'(x,y)=0
Stimmt. Das ist eine notwendige Bedingung.
> Daraus ergaben sich bei mir folgende Lösungen: (x,y)=(0,
> [mm](2k-1)\bruch{\pi}{2})[/mm] und [mm](x,y)=(0,k\pi)[/mm]
Deine erste Lösung in f' eingesetzt ergibt nicht (0,0). Ist wohl ein kl. Schreib- oder Rechenfehler.
>
> Die habe ich in f'' eingesetzt und da erhielt ich
> folgendes:
Dieses Vorgehen ist im Prinzip richtig. Machen wir's mal mit deiner zweiten Lösung:
k gerade ergibt [mm] f''((0,k\pi))= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 },
[/mm]
k ungerade: [mm] f''((0,k\pi))= \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
> so jetzt weis ich aber
> nicht so richtig wie/ob ich daraus jetzt
> Definitheit/Indefinitheit also Minima/Maxima schließen kann
> und wie das sich mit den Sattelpunkten verhält, ...
Es ist so:
negativ definit==>Maximum
positiv definit==> Minimum
indefinit==>Sattelpunkt
weder noch ==> ohne nähere Untersuchungen weiß man nichts.
Die Definitheit prüft man entweder, indem man die Eigenwerte bestimmt. Alle EWe pos==> pos.def.
alle EWe neg. ==> neg. def.
pos. und neg. EW ==> indefinit
Oder man schaut für beliebiges (x,y) [mm] \in \IR^{2}
[/mm]
(x,y)*Hessematrix* [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] an und schaut, ob die Ergebnisse immer positiv sind (pos. def.), immer negativ (neg.def.) oder ob positive und negative vorkommen können (indef.). Für [mm] \IR^{n} [/mm] gilt das entsprechend.
Ich denke, Du kommst jetzt weiter, oder?
Gruß v. Angela
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