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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Do 17.03.2011 | | Autor: | Lentio |
| Aufgabe | Berechnen Sie die lokeln/globalen Extremavon f:
[mm] f={\vektor{x \\ y} \in R^2| x^2+y^2\le 1}-> [/mm] R, [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] --> [mm] 3x^2-2xy+y^2. [/mm] |
Hallo,
schon wieder ein Problem. Diese Art an Aufgaben werden mir irgendwann einmal das Genick brechen!!
Was ich bisher habe:
Bestimmung der kritischen Punkte im Inneren der Fläche führt zu
[mm] grad_{f}=0
[/mm]
[mm] \vektor{6x -2y\\ -2x+2y}=\vektor{0 \\ 0}. [/mm] Gleichungen erfüllt für P(0,0).
Untersuchung des Randes:
Nebenbedingung [mm] g_{x,y}=0 [/mm] -> [mm] x^2+y^2-1=0
[/mm]
[mm] grad_{f}= \lambda grad_{g}
[/mm]
LGs
6x -2y= [mm] \lambda [/mm] *2x
-2x+2y= [mm] \lambda [/mm] *2y
[mm] x^2+y^2-1=0
[/mm]
Und wieder schaffe ich es nicht durch umformen auf einen grünen Zweig zu kommen. Dabei ist es doch ein einfaches LGS?!
--> Fall y [mm] \not= [/mm] 0
aus(2):
[mm] x=-y*\lambda+y
[/mm]
in (1)
[mm] -6\lambda*y +4y=-2y*\lambda^2 +2y*\lambda
[/mm]
umgefomt und dividiert durch y:
[mm] \lambda^2-4*\lambda [/mm] +2=0
-> [mm] \lambda_{1,2}=2 \pm \wurzel{2}.
[/mm]
Wnn ich weiter mache, kommt nur *** raus.
mfg,
Lentio
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Hallo Lentio,
> Berechnen Sie die lokeln/globalen Extremavon f:
>
> [mm]f={\vektor{x \\ y} \in R^2| x^2+y^2\le 1}->[/mm] R, [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]
> --> [mm]3x^2-2xy+y^2.[/mm]
> Hallo,
>
> schon wieder ein Problem. Diese Art an Aufgaben werden mir
> irgendwann einmal das Genick brechen!!
>
> Was ich bisher habe:
>
> Bestimmung der kritischen Punkte im Inneren der Fläche
> führt zu
>
> [mm]grad_{f}=0[/mm]
> [mm]\vektor{6x -2y\\ -2x+2y}=\vektor{0 \\ 0}.[/mm] Gleichungen
> erfüllt für P(0,0).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Untersuchung des Randes:
>
> Nebenbedingung [mm]g_{x,y}=0[/mm] -> [mm]x^2+y^2-1=0[/mm]
> [mm]grad_{f}= \lambda grad_{g}[/mm]
> LGs
> 6x -2y= [mm]\lambda[/mm] *2x
> -2x+2y= [mm]\lambda[/mm] *2y
> [mm]x^2+y^2-1=0[/mm]
> Und wieder schaffe ich es nicht durch umformen auf einen
> grünen Zweig zu kommen. Dabei ist es doch ein einfaches
> LGS?!
>
> --> Fall y [mm]\not=[/mm] 0
> aus(2):
> [mm]x=-y*\lambda+y[/mm]
> in (1)
> [mm]-6\lambda*y +4y=-2y*\lambda^2 +2y*\lambda[/mm]
> umgefomt und
> dividiert durch y:
> [mm]\lambda^2-4*\lambda[/mm] +2=0
> -> [mm]\lambda_{1,2}=2 \pm \wurzel{2}.[/mm]
>
> Wnn ich weiter mache, kommt nur *** raus.
>
Das ist bis jetzt alles richtig.
Poste doch den "***".
> mfg,
>
> Lentio
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Do 17.03.2011 | | Autor: | Lentio |
okay,
also *** :
für [mm] \lambda [/mm] =2- [mm] \wurzel{2}
[/mm]
-2x+2y=(2- [mm] \wurzel{2})2y
[/mm]
-> x=-(2- [mm] \wurzel{2})y [/mm] +y
[mm] x=y(\wurzel{2}-1)
[/mm]
eingesetzt in [mm] x^2+y^2-1=0:
[/mm]
[mm] y^2(\wurzel{2}-1)^2+y^2=1
[/mm]
[mm] y^2((\wurzel{2}-1)^2+1)=1
[/mm]
[mm] |y|=\bruch{1}{\wurzel{(\wurzel{2}-1)^2+1}}
[/mm]
[mm] x_{1}= [/mm] (- [mm] \bruch{1}{\wurzel{(\wurzel{2}-1)^2+1}})(\wurzel{2}-1)
[/mm]
[mm] x_{2}= [/mm] ( [mm] \bruch{1}{\wurzel{(\wurzel{2}-1)^2+1}})(\wurzel{2}-1)
[/mm]
kommt mir igendwie recht unverdaut vor ;)
mfg,
Lentio
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Hallo Lentio,
> okay,
> also *** :
>
> für [mm]\lambda[/mm] =2- [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> -2x+2y=(2- [mm]\wurzel{2})2y[/mm]
> -> x=-(2- [mm]\wurzel{2})y[/mm] +y
> [mm]x=y(\wurzel{2}-1)[/mm]
> eingesetzt in [mm]x^2+y^2-1=0:[/mm]
> [mm]y^2(\wurzel{2}-1)^2+y^2=1[/mm]
> [mm]y^2((\wurzel{2}-1)^2+1)=1[/mm]
> [mm]|y|=\bruch{1}{\wurzel{(\wurzel{2}-1)^2+1}}[/mm]
> [mm]x_{1}=[/mm] (-
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{(\wurzel{2}-1)^2+1}})(\wurzel{2}-1)[/mm]
> [mm]x_{2}=[/mm] (
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{(\wurzel{2}-1)^2+1}})(\wurzel{2}-1)[/mm]
>
> kommt mir igendwie recht unverdaut vor ;)
>
Hier kannst Du den Nenner noch rational machen.
> mfg,
> Lentio
Gruss
MathePower
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Hallo Lentio
Es gibt halt keine so "schönen" Lösungen - aber das
ist ja ohnehin nur bei schön präparierten Aufgaben
der Fall. Oft werden wir ja von den Aufgabenstellern
ja auch fast zu sehr verwöhnt !
LG
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