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| Aufgabe | Finden Sie alle lokalen Maximal- und Minimalstellen der Funktion
f : [mm] R^2 [/mm] nach R, f(x, y) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] 8y^3 [/mm] − 6xy + 1.
Untersuchen Sie, ob die von Ihnen gefundenen lokalen Extrema auch globaleExtrema sind. |
hallo,
also ich habe als krit. punkte (0,0) und (1,1/2)
damit ergeben sich für die Hessematrix:
[mm] \pmat{ 0 & -6 \\ -6 & 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ 6 & -6 \\ -6 & 24 }
[/mm]
meine Frage: handelt es sich bei der ersten um einen Sattelpunkt? da die det < 0 ist?
und die zweite frage: woher weiß ich ob die zweite nun ein Min oder Max ist?
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Hallo pauletinho,
> Finden Sie alle lokalen Maximal- und Minimalstellen der
> Funktion
> f : [mm]R^2[/mm] nach R, f(x, y) = [mm]x^3[/mm] + [mm]8y^3[/mm] − 6xy + 1.
> Untersuchen Sie, ob die von Ihnen gefundenen lokalen
> Extrema auch globaleExtrema sind.
> hallo,
> also ich habe als krit. punkte (0,0) und (1,1/2) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Besser wäre es, du würdest deine Rechnung dazu schreiben. So muss der Antwortgeber ja alles nochmal und selber rechnen, das kann nicht Sinn der Sache sein ...
> damit ergeben sich für die Hessematrix:
> [mm]\pmat{ 0 & -6 \\
-6 & 0 }[/mm] und [mm]\pmat{ 6 & -6 \\
-6 & 24 }[/mm]
>
> meine Frage: handelt es sich bei der ersten um einen
> Sattelpunkt? da die det < 0 ist?
>
> und die zweite frage: woher weiß ich ob die zweite nun ein
> Min oder Max ist?
Untersuche die Matrix auf Definitheit. Ist sie positiv definit, liegt ein (lokales) Minimum vor, ist die negativ definit, so liegt ein (lok.) Max. vor, ist sie indefinit (wie die erste), so liegt ein Sattelpunkt vor.
Zur Untersuchung der Definitheit gibt es mehrere Möglichkeiten, für [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen gibt es obendrein ein "schnelles" Kriterium ...
Gruß
schachuzipus
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die rechnung hätte ich dazu geschrieben, aber die hesse matritzen sind definitiv richtig, deshalb habe ich mir das erspart...
das ist ja genau meine frage... woran erkenne ich ob sie pos bzw. neg definit ist, wenn die einträge positiv und negativ sind?
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Hallo nochmal,
was spricht dagegen, sich mal selbst bzgl. der Definitheit umzusehen?
Google wirft doch direkt einen wikipedia-link aus, in dem alles steht.
Wieso also sollten wir alles nochmal aufschreiben?
> die rechnung hätte ich dazu geschrieben, aber die hesse
> matritzen sind definitiv richtig, deshalb habe ich mir das
> erspart...
> das ist ja genau meine frage... woran erkenne ich ob sie
> pos bzw. neg definit ist, wenn die einträge positiv und
> negativ sind?
Deine Shifttaste scheint zu klemmen, es ist alles kleingeschrieben ...
Du kannst es über die Eigenwertbestimmung machen oder über das Hauptminorenkriterium, das für [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen sehr einfach ist.
Aber das steht alles bei wikipedia ...
Gruß
schachuzipus
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