Extrema Ableitg.=dopp.Nullstel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Do 12.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Wenn wir Extremstellen berechnet haben und auch schon ihre zugehörigen Extremwerte, so kann es immer noch sein, dass es sich gar nicht um Extrempunkte handelt. Denn eine Nullstelle der Ableitung kann auch nur Berührpunkt mit der x-Achse sein, in diesem Fall bliebe die Ableitung positiv (bzw. negativ) und die Steigung der Funktion bliebe positiv (bzw. negativ).
Quelle:
www.mathematik-wissen.de/hochpunkte_bzw_tiefpunkte.htm |
Guten Tach,
ich habe das nicht gewußt u. bislang geglaubt, dass da wo die Ableitg. null ist ist auf jeden Fall entwed. ein HP oder TP.
Es fehlen mir doch leider die Vorstellungen, wie sich einfache u. dopp. Nullstelle bei der Ableitg. in Bezug auf Extrema unterscheiden.
Hat jemand vielleicht ein anschauliches Bsp. für
wenn Ableitg. dopp.Nullst. - wie sieht dann der Ausgangsgraph an der Stelle aus?
Vielen DANK
Gruß
Sabine
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Hallo Sabine,
die Informationen auf der von dir verlinkten Seite sind m.A. nach mit Vorsicht zu genießen. Ich möchte daher gar nicht wirklich darauf eingehen, sondern versuchen, den Sachverhalt mit meinen Augen zu erläutern.
Innere Extrema sind solche Extremwerte, an denen die Steigung der zugehörigen Tangente waagerecht ist. Von daher ist es notwendig, dass an solchen Punkten f'(x)=0 ist und man nennt dies die notwendige Bedingung für solche inneren Extrema, die wir im Folgenden auch einfach als Extrempunkte bezeichnen können, da in diesem Zusammenhang sicherlich sog. Randextrema noch nicht von Interesse sind.
Jetzt machen wir uns klar, dass es auch denkbare Kurvenverläufe gibt, an denen zwar die Tangentensteigung waagerecht ist, ohne dass jedoch ein Extrempunkt vorliegt. Betrachte hierzu das Schaubild der Funktion [mm] f(x)=x^3 [/mm] in einer Umgebung um den Koordinatenursprung.
Du wirst dort einen sog. Sattelpunkt bzw. Terrassenpunkt feststellen, also einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
Und tatsächlich wirst du feststellen, dass die erste Ableitung dieser Funktion an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] eine doppelte Nullstelle besitzt, und dass außerdem f''(0)=0 gilt. Soweit, so gut (das wäre das von dir gewünschte Beispiel).
Das Problem an der Sache (und an der angegebenen Seite): so einfach wie das aussieht, ist es nicht. Wenn man sich auf rationale Funktionen beschränkt, dann wird an einem solchen Sattelpunkt eine doppelte Nullstelle der 1. Ableitung vorliegen. Im Allgemeinen muss das aber nicht so sein. Weiter wird bei sehr einfachen Funktionen tatsächlich die 2. Ableitung an einem Hochpunkt negativ und an einem Tiefpunkt positiv sein. Im Allgemeinen muss auch das nicht gelten: betrachte hierzu die Funktion [mm] f(x)=x^4 [/mm] in einer Umgebung um den Koordinatenursprung. Sie besitzt dort einen Tiefpunkt, obwohl die 2. Ableitung dort gleich Null ist.
Man könnte das mal für den Schulgebrauch so zusammenfassen:
- f'(x)=0 ist eine notwendige Bedingung für einen Extrempunkt, d.h., diese Bedingung muss an einer solchen Extremstelle erfüllt sein.
- f''(x)<0 bzw. f''(x)>0 sind mögliche hinreichende Bedingungen für einen Hoch bzw. Tiefpunkt. Andere Möglichkeiten wären die gleichen Vorzeichen bei der 4., 6. 8. Ableitung (usw.), wenn die geradzahligen Ableitungen bis zu der betreffenden an der fraglichen Stelle alle gleich Null sind. Eine weitere mögliche hinreichende Bedingung für ein Extremum wäre ein Vorzeichenwechsel in der ersten Ableitung an der Nullstelle derselben.
Hilft dir das ein Stückchen weiter? 
Gruß, Diophant
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