Extrema Funktionenschar mit ln < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Tycho |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar f(x)=(x-k)*ln(x) mit [mm] k\in\IR.
[/mm]
Bestimme In Abhänigkeit von k die Anzahl der möglichen Extremstellen. |
Hallo zusammen,
hab das Problem bei der Aufgabe, die Extremstellen zu finden.
Die Ableitung hab ich schon ausgerechnet ( f'(x)=1+ln(x)-k/x ) und
um den Bruch weg zu bekommen hab ich die Funktion mit x multipliziert
( f'(x)= x+x*ln(x)-k ) nur, wenn ich das gleich 0 setze weiß ich einfach nicht wie ich auf die Nullstellen komme, hab alles ausprobiert was mir eingefallen ist aber nichts hatte ein stimmiges Ergebnis gebracht.
Vllt kann mir jemand einen Tipp geben wie ich weiter komme, hatte versucht die Extrema exemplarisch mit k=0 zu bestimmen, doch daran bin auch gescheitert. Ein Hinweis zur Lösung würde mir reichen.
Schonmal danke im vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Deine Ableitung:
> Gegeben ist die Funktionenschar f(x)=(x-k)*ln(x) mit
> [mm]k\in\IR.[/mm]
> Bestimme In Abhänigkeit von k die Anzahl der möglichen
> Extremstellen.
> Hallo zusammen,
> hab das Problem bei der Aufgabe, die Extremstellen zu
> finden.
> Die Ableitung hab ich schon ausgerechnet (
> f'(x)=1+ln(x)-k/x )
Ist korrekt.
> und um den Bruch weg zu bekommen hab ich die Funktion mit x
> multipliziert
> ( f'(x)= x+x*ln(x)-k ) nur, wenn ich das gleich 0 setze
Das musst du unbedingt anders herum machen: erst Null setzen, dann mit x multiplizieren! Sonst musst du alternativ x*f'(x) auf der linken Seite schreiben, aber das wäre äußerst verwirrend.
> weiß ich einfach nicht wie ich auf die Nullstellen komme,
Na ja, mit normalem Rechnen kommt man hier nicht weit.
> hab alles ausprobiert was mir eingefallen ist aber nichts
> hatte ein stimmiges Ergebnis gebracht.
> Vllt kann mir jemand einen Tipp geben wie ich weiter
> komme, hatte versucht die Extrema exemplarisch mit k=0 zu
> bestimmen, doch daran bin auch gescheitert. Ein Hinweis zur
> Lösung würde mir reichen.
> Schonmal danke im vorraus.
Meine Idee: betrachte die Gleichung
[mm] ln(x)+1-\bruch{k}{x}=0
[/mm]
als Schnittpunktproblem der beiden Hilfsfunktionen
[mm] h_1(x)=ln(x)
[/mm]
[mm] h_2(x)=\bruch{k}{x}-1
[/mm]
Der Anzahl der Schnittpunkte dieser beiden Funktionen entspricht ja die Anzahl der Nullstellen deiner ersten Ableitung. Für nichtnegative k ist die Sache einfach. Für positive k leite beide Hilfsunktionen ab, um zu prüfen, wo sie eine gemeinsame Steigung haben. Je nachdem, welche der beiden Hilfsfunktionen dort den größeren Funktionswert hat, schneiden sie sich oder nicht.
Kommst du mit dieser Idee schon weiter?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Tycho |
Danke für die schnelle antwort
ich kenne mich mit der Art von Lösung leider garnicht aus hab die beiden Hilfsfunktionen mal gleichgesetzt und abgeleitet, da würde bei mir aber das k entfallen und das ergebnis richtig zu deuten bin ich leider auch nicht in der lage :(
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Hallo,
> Danke für die schnelle antwort
>
> ich kenne mich mit der Art von Lösung leider garnicht aus
Ja, aber das ist keine hilfreiche Feststellung, dann musst du das eben ändern!
> hab die beiden Hilfsfunktionen mal gleichgesetzt und
> abgeleitet, da würde bei mir aber das k entfallen und das
> ergebnis richtig zu deuten bin ich leider auch nicht in der
> lage :(
Ich schreibe es nochmal konkreter: das Gleichsetzen führt hier auf eine Gleichung mit transzendentem und algebraischen Anteil. Solche Gleichungen kann man bis auf Ausnahmen nicht analytisch lösen, und so ist das hier auch. D.h., du kannst jetzt weiter vergeblich versuchen, irgendwie mit der 08/15-Methode weiterzukommen, oder du schaust dir meine Überlegung nochmal in aller Ruhe an, am besten zeichnest du dir erst einmal die Funktionsgraphen der beiden Hilfsfunktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem, bei der zweiten auf jeden Fall mal eine für positives und eine für negatives k.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
bitte stelle den Artikelstatus einer Frage nicht grundlos auf unbeantwortet zurück. Diese Möglichkeit sollte mit Umsicht verwendet werden, sie ist für Fälle gedacht, in denen ein Beitrag als Antwort gegeben wird, der inhaltlich keine solche enthält.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Tycho |
Entschuldigung ich kenne mich hier nicht besonders gut aus war mir nicht sicher ob ich meine antwort im richtigen feld eingegeben hab auf den status ausversehen gedrückt sry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 So 07.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] $g(x):=x*\ln(x)+x$.
[/mm]
Dann geht es um die Anzahl der Lösungen der Gl.
g(x)=k.
1. [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}g(x)= [/mm] ?, [mm] \limes_{x\to 0+0}g(x)= [/mm] ?
2. Zeige: g hat in [mm] x_0=1/e^2 [/mm] ein absolutes Minimum
3. Zeige: Ist [mm] k=g(x_0), [/mm] so hat obige Gl. genau eine Lösung.
4. Zeige: Ist [mm] k>g(x_0), [/mm] so hat obige Gl. genau 2 Lösungen.
5. Zeige: Ist k< [mm] g(x_0), [/mm] so hat obige Gl. keine Lösung
FRED
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