Extrema/Krümmung f(x) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Mi 21.01.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die lokalen Extremwerte der folgenden Funktion.
Wann ist die Funktion links- und wann rechtsgekrümmt?
[mm] f(x)=x^3*\sin\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] |
Im Rahmen einer Kurvendiskussion habe ich bei diesen beiden Punkten Probleme, habe mir den Graph mal plotten lassen und irgendwie sieht das auch sehr böse aus... Eigentlich wie eine normale Parabel und wenn man ranzoomt kann man klitzekleine Schwingungen nahe des Nullpunktes erkennen.
Lokale Extrema:
in f(0) evtl nicht diff'bar, da dort stetig ergänzt.
[mm] f'(x)=3*x^2*\sin\left(\bruch{1}{x}\right)-x*\cos\left(\bruch{1}{x}\right)
[/mm]
Jetzt hilft mir das irgendwie nicht wirklich weiter, bzw ich wüsste auf Anhieb keine Umformung wie ich das x da aus der Gleichung rausholen kann, ausser ein x auszuklammern aber dann ist es in der Klammer ja immernoch im [mm] \sin [/mm] bzw [mm] \cos [/mm] "gefangen"...
Habe mir überlegt, dass ich in der Funktion [mm] f(x)=x^3*\sin\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] doch auch dort lokale Extrema haben müsste wo [mm] \sin\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] Extrema hat.
Also
[mm] \sin\left(\bruch{1}{x}\right)=1
[/mm]
[mm] \left(\bruch{1}{x}\right)=\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi
[/mm]
[mm] x=\bruch{1}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}
[/mm]
und
[mm] \sin\left(\bruch{1}{x}\right)=-1
[/mm]
[mm] \left(\bruch{1}{x}\right)=-\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi
[/mm]
[mm] x=\bruch{1}{-\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}
[/mm]
Das würde ja heissen, desto größer das k wird, desto kleiner werden die Stellen x an denen ich ein Maximuum oder Minimum habe.
Ein weiteres Problem wäre ja jetzt noch, dass ich nicht zu jeder Extremstelle einen passenden y-Wert ausrechnen kann, da es unendlich viele (Extremstellen) gibt wo diese für große k unendlich nahe!? an den nullpunkt rankommen.
Für x=0 könnte ich schauen ob f'(x) dort einen VZW Wechsel hat aber dabei darf ich doch keine anderen Extrema einschliessen oder?
Denn zwischen -1 und 1 müssten ja noch unendlich viele VZW sein.
Falls doch:
f'(-1)=-1,98
f'(1)=1,98
wäre ein VZW von - nach +, also lokales Minimum...
für die restlichen Extremwerte könnte ich folgendes machen?:
[mm] f''(x)=6*x*\sin\left(\bruch{1}{x}\right)-3*\cos\left(\bruch{1}{x}\right)-3*x^2*\cos\left(\bruch{1}{x}\right)+x*\sin\left(\bruch{1}{x}\right)
[/mm]
[mm] =7*x*\sin\left(\bruch{1}{x}\right)-3*\cos\left(\bruch{1}{x}\right)*(1+x^2)
[/mm]
Dort kann ich ja jetzt meine Werte für die Extrema einsetzen.
[mm] f''\left(\bruch{1}{\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi}\right)=\bruch{7}{\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi}*\sin\left(\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi\right)-3*\cos\left(\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi\right)*\left(1+(\bruch{1}{\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi})^2\right)
[/mm]
[mm] =\bruch{7}{\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi}\begin{cases} positiv, & \mbox{für } k \ge 0 \\ negativ, & \mbox{für } k < 0 \end{cases}
[/mm]
und
[mm] f''\left(\bruch{1}{-\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi}\right)=\bruch{7}{-\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi}*\sin\left(-\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi\right)-3*\cos\left(-\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi\right)*\left(1+(\bruch{1}{-\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi})^2\right)
[/mm]
[mm] =\bruch{-7}{-\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi}\begin{cases} positiv, & \mbox{für } k \le 0 \\ negativ, & \mbox{für } k > 0 \end{cases}
[/mm]
Das würde doch heissen, dass ich Minima hab für
[mm] \bruch{1}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi} [/mm] mit k [mm] \ge [/mm] 0
sowie
[mm] \bruch{1}{-\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi} [/mm] mit k [mm] \le [/mm] 0
und Maxima für
[mm] \bruch{1}{\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi} [/mm] mit k < 0
sowie
[mm] \bruch{1}{-\bruch{\pi}{2}+k*2*\pi} [/mm] mit k > 0
Allerdings weis ich nicht so wirklich ob das richtig ist...
Bei der Krümmung habe ich bisjetzt gar keine Idee, denn wann f''(x)=0 ist kann ich ebenfalls nicht sagen:
[mm] f''(x)=7*x*\sin\left(\bruch{1}{x}\right)-3*\cos\left(\bruch{1}{x}\right)*(1+x^2)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Ich hoffe die Frage ist nicht zu umfangreich...
Danke und besten Gruß,
tedd 
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mi 21.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die exakten Stellen fuer Max und Min hast du nicht durch die von sin(1/x), da sie durch die Multipl. mit [mm] x^3 [/mm] noch leicht verschoben werden, aber die ungefaehre lage schon. du muesstest sonst die gleichung 3x=cotan(1/x) loesen, das geht nur numerisch. wenn du aber y=cotan1/x und y=3x mit den senkrechten assymptoten zeichnest, siehst du dass sie sich immer beinahe bei den ass. schneiden.
Minima wo sin(1/x)=-1, max wo sin1/x=1 die kruemmung bei den Max und Min kannst du ja direkt sehen, die genauen Wendestellen aber wieder nicht! sie liegen nur beinahe bei den Nullstellen. bleibt das Verhalten nach [mm] 1/x=1/(\pi/2) [/mm] also wenn sin1/x nur noch faellt. aber [mm] x^3 [/mm] stark steigt. das musst du einzeln untersuchen!
Da die fkt sym zur y-achse ist musst du nur x>0 untersuchen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Mi 21.01.2009 | | Autor: | tedd |
Hm irgendwie versteh ich jetzt nur noch bahnhof... aber wir werden die Aufgabe morgen wahrscheinlich eh durchrechnen von daher bin ich mal gespannt wie man da eine vernünftige Lösung hinbekommen soll.
Danke und Gruß,
tedd
|
|
|
|
