Extrema, Min oder Max < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Fr 13.07.2007 | | Autor: | tete |
| Aufgabe | | Schreibe die Zahl 10 = x + 4y + 7z mit positiven Zahlen x,y,z, dass x²+y²+2z² extremal ist. (Ist das ein Minimum oder ein Maximum?) |
Hey - Hallo
ich bin ganz neu hier und hoffe hier etwas Hilfe zu bekommen.
Nun zu meiner Aufgabe:
Ich habe eigentlich keine so richtig passende Idee, dass einzige was mir in den Sinn gekommen ist, ist das man 10=x+4y+7z nach einer Variablen umstellt und das dann in die Gleichung einfügt.
Ich habe einfach mal nach x umgestellt und dann x in der anderen Gleichung dadurch ersetzt.
[mm] \Rightarrow [/mm] (10-4y-7z)²+y²+z²
leider weis ich jetzt nicht was ich damit anfangen soll: Ich könnte mir vorstellen, da man ja auf Extrema untersuchen soll, dass man partiell nach y und z ableitet und dann Null setzt aber ich bitte um eine Rückmeldung ob der Gedanke so richtig ist.
Ich danke euch schon mal im voraus!
tete
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Schreibe die Zahl 10 = x + 4y + 7z mit positiven Zahlen
> x,y,z, dass x²+y²+2z² extremal ist. (Ist das ein Minimum
> oder ein Maximum?)
>
> Nun zu meiner Aufgabe:
> Ich habe eigentlich keine so richtig passende Idee, dass
> einzige was mir in den Sinn gekommen ist, ist das man
> 10=x+4y+7z nach einer Variablen umstellt und das dann in
> die Gleichung einfügt.
> Ich habe einfach mal nach x umgestellt und dann x in der
> anderen Gleichung dadurch ersetzt.
> [mm]\Rightarrow[/mm] (10-4y-7z)²+y²+z²
> leider weis ich jetzt nicht was ich damit anfangen soll:
> Ich könnte mir vorstellen, da man ja auf Extrema
> untersuchen soll, dass man partiell nach y und z ableitet
> und dann Null setzt aber ich bitte um eine Rückmeldung ob
> der Gedanke so richtig ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mit Deinen Gedanken bist Du auf der richtigen Spur.
Es ist der Extremwert von f(x,y,z)=x²+y²+2z² zu bestimmen unter der Nebenbedingung 10 = x + 4y + 7z.
Dein Gedanke, nach x umzustellen und in f(x,y,z) einzusetzen, ist gut.
Du erhältst dann eine Funktion, welche nur noch von zwei Variablen abhängt, und welche Du mit partieller Ableitung, =0 setzen in Griff bekommst.
Eine Alternative, falls Ihr das hattet, wäre der Lagrangeansatz, von dem ich aber nicht finde, daß er bei dieser Aufgabe einen Vorteil bietet. Ist sicher Geschmackssache.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Fr 13.07.2007 | | Autor: | tete |
Also gut, ich ergalte dann:
f(y,z) = (10-4y-7z)²+y²+2z² = 100-16y²-49z²+y²+2z² = 100-15y²+51z²
wenn ich das partiell ableite, dann erhalte ich:
[mm] \partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] y = -30y und [mm] \partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] z = 102 z
wenn ich diese beiden Funktionen jetzt Null setze, dann erhalte ich für y und z 0 und nach der Nebenbedingung müsste x= 10 sein aber irgendwie bin ich sehr skeptisch bei der Rechnung, kannst du mir vielleicht an der Stelle weiterhelfen?
Danke schon mal für deine Antwort!
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> Also gut, ich ergalte dann:
> f(y,z) = (10-4y-7z)²+y²+2z² = 100-16y²-49z²+y²+2z² =
Hallo,
das da oben ist ganz großer Murks - fast falle ich vom Stuhl bei dem Anblick...
(10-4y-7z)²=((10-4y-7z)(10-4y-7z)=???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Fr 13.07.2007 | | Autor: | tete |
upps sorry, hab ich es mir mal sehr einfach gemacht!
also nochmal:
ich erhalte nach dem ausmultiplizieren der Klammer und einsetzten in der Formel:
100 - 80y -140z + 56yz + 17y² + 51z²
wenn ich das jetzt partiell ableite erhalte ich:
[mm] \partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] y = -80+34y+56z und
[mm] \partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] z = -140+56y+102z
so und jetzt? muss ich jetzt schon beide Gleichungen Null setzen und die Werte für y,z ausrechnen? und im Anschluss, wenn ich y,z habe kann man ja schon x berechnen aber wie mache ich weiter wenn ich die Werte für x,y,z habe?
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Hallo und Glückwunsch,
jetzt stimmt Deine Funktion und Deine partiellen Ableitungen, berechne über ein Gleichungssystem y und z, damit dann x.
Gehe dann über die zweiten Ableitungen zur Hessematrix und bestimme über die Definitheit, ob Maximum oder Minimum.
Steffi
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:29 Fr 13.07.2007 | | Autor: | tete |
so, hat zwar etwas gedauert aber ich habe jetzt die Werte für x,y,z und zwar (völlig unrund aber egal)
x=0,243
y=0,964
z=0,843
ich hoffe das kann erstmal jemand bestätigen?
So nun eine weitere Frage: Was soll ich denn jetzt zweimal ableiten? und wie fumktioniert das mit der Hesse-Matrix, haben die Hesse-Matrix erst diese Woche eingeführt und ich habe noch nicht den durchblick! und auch das mit der Definitheit ist mir noch nicht ganz klar, wenn mir da bitte jemand helfen kann!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Fr 13.07.2007 | | Autor: | tete |
So, ich habe jetzt mal hin und her gerechnet und hoffe mir ist kein Fehler unterlaufen!
Als erstes habe ich die Hesse-Matrix aufgestellt und zwar wie folgt:
ich habe f(x,y,z)=x²+y²+2z² zweimal nach x,y,z abgelietet und nach x,y ; x,z ; y,z und das dann eingetragen: ich hoffe ihr könnt es nachvollziehen, hier mal meine Hessematrix die ich ehalten habe:
[mm] \pmat{ 2 & 2x+2y & 2x+4z \\ 2y+2x & 2 & 2y+4z \\ 4z+2x & 4z+2y & 4 }
[/mm]
mit meinen Werten für x,y,z erhalte ich einfache reele Zahlen in der Matrix und kann dann die Hauptunterdeterminatnten berechnen, wobei die erste Hauptunterdeterminante > 0 und die zweite < 0, sodass ich mir die dritte gespat habe, da die MAtrix dann negativ definit ist und es sich somit um ein MAximum handelt! Stimmt das???
lg tete
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Hallo,
nun gucken wir mit kühlem Kopf die Hessematrix an.
Du hattest Deine Nebenbedingung ja so in die Funktion f eingearbeitet, daß Du nun nur noch eine Funktion f(y,z), also ein Funktion in zwei Variablen zu betrachten hast.
Das bedeutet: Deine Hessematrix ist hier eine 2x2 Matrix.
Wie findest Du die Hessematrix?
Du hast bisher die partiellen Ableitungen nach y und nach z,
[mm] f_y(y,z)= [/mm] -80+34y+56z
[mm] f_z(y,z)= [/mm] -140+56y+102z
Deine Hessematrix enthält oben links die Ableitung von [mm] f_y [/mm] nach y. also [mm] f_y_y,
[/mm]
oben rechts die Ableitung von [mm] f_y [/mm] naxh z, also [mm] f_y_z
[/mm]
unten rechts [mm] f_z_y [/mm] und unten links [mm] f_z_z,
[/mm]
also [mm] H(f)(x,y)=\pmat{ f_y_y & f_y_z \\ f_z_y & f_z_z}.
[/mm]
Wenn Du's richtig gemacht hast, ist diese Matrix symmetrisch.
Jetzt setzt Du Deinen kritischen Punkt ein und prüfst die Definitheit der Matrix.
Ist sie pos. definit hast Du ein Minimum, ist sie neg. definit, liegt ein Maximum vor.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 So 15.07.2007 | | Autor: | tete |
Hey angela,
vielen Dank für deine Mühe!
ich habe die Hesse-Matrix jetzt ausgeechnet und folgendes erhalten:
[mm] \pmat{ 34 & 56 \\ 56 & 102 } [/mm] kannst du das bestätigen?
ich weis jetzt leider nicht, wo ich den kritischen Punkt einsetzen soll, da ich ja nur noch Konstante in der Matrix habe.
Wenn das so stimmt, wie ich es hbe, müsste ich ein Minimum sein, da
(34*102)-(56*56)>0 gilt.
aber ich bin skeptisch, da ich jetzt nicht weis wofür ich den kritischen Punkt berechnet habe oder ist es nur zufall, das meine Matrix nicht mehr von x,y,z abhängt aber das würde ja heißen, es ist immer ein Minimum, denn egal was ich für x,y,z einsetzen würde, es käme ja immer ein Minimum heraus!
LG tete
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> Hey angela,
> vielen Dank für deine Mühe!
>
> ich habe die Hesse-Matrix jetzt ausgeechnet und folgendes
> erhalten:
> [mm]\pmat{ 34 & 56 \\ 56 & 102 }[/mm] kannst du das bestätigen?
Ja, das ist richtig.
>
> ich weis jetzt leider nicht, wo ich den kritischen Punkt
> einsetzen soll, da ich ja nur noch Konstante in der Matrix
> habe.
Naja, Du hast [mm] H_f(y,z)=\pmat{ 34 & 56 \\ 56 & 102 }, [/mm] dann ist [mm] H_f(krit. [/mm] Punkt) eben = [mm] \pmat{ 34 & 56 \\ 56 & 102 }
[/mm]
> Wenn das so stimmt, wie ich es hbe, müsste ich ein Minimum
> sein, da
> (34*102)-(56*56)>0 gilt.,
und das linke obere Element >0 ist . Also ist die Hessematrix pos. definit, und es liegt ein Minimum vor.
>
> aber ich bin skeptisch, da ich jetzt nicht weis wofür ich
> den kritischen Punkt berechnet habe oder ist es nur zufall,
> das meine Matrix nicht mehr von x,y,z abhängt
Nein. das kommt, weil Du die Nebenbedingung in die Funktion eingearbeitet hast.
Natürlich brauchst Du jetzt noch das passende x fürs Minimum. Das bekommst Du, wenn Du Dein Minimum in 10 = x + 4y + 7z einsetzt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 15.07.2007 | | Autor: | tete |
ist das passende x welches ich brauche nicht gerade die 0,243, das habe ich doch über das LGs und das einsetzen der werte für y,z in die Gleichung 10=x+4y+7z erhalten (siehe unten)
also erhalte ich, dass es an der Stelle (0.243,0.964,0.843) ein Minimum ist.
Das müsste es doch jetzt gewesen sein, oder?
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Hallo,
ja genau das stimmt. Dein Minimum ist natürlich der Punkt bestehend aus (x,y,z), den du durch dieses Einsetzen erhältst!
Beste Grüße
Daniel
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Kleine Anmerkung: die Werte sind in der Tat [mm] $y=\bruch{80}{83}\wedge z=\bruch{70}{83}\wedge x=\bruch{20}{83}$.
[/mm]
Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Fr 13.07.2007 | | Autor: | tete |
Hey vielen Dank, dass du es auch nochmal nachgerechnet hast!
ich habe mich glaube ich bei meiner Hesse-matrix völlig vertan! Ich habe bei den gemischten partiellen Ableitungen einzeln abgeleutet und addiert, das geht so aber nicht, oder?
Ich glaube man muss erst nach der einen Variablen ableiten und das was übrig leibt noch nach der anderen!
Dann würde ich folendes erhalten:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 } [/mm] das würde heißen, alle Eigenwerte sind >0 uns somit ist es ein Minimum an der Stelle
f (0.243,0.964,0.843)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 So 15.07.2007 | | Autor: | tete |
Ich danke euch alle für eure Hilfe, ist wirklich ganz lieb von euch!
vielen vielen DANK!!!
LG tete
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