Extrema bestimmen (grad = 0 ?) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 So 21.05.2006 | | Autor: | spritey |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Stellen lokaler Extrema der Funktion f: R² -> R.
Entscheiden Sie ob es sich dabei um ein Max. oder Min. handelt.
f(x,y) = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] * [mm] e^{-(x^2 + y^2)} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich galube ich habe da noch Einiges nicht richtig verstanden.
Um verdächtige Stellen zu finden, setzte ich den (grad f)(x,y) doch gleich (0,0).
Das machte ich indem ich die partiellen Ableitungen nach x und y gleich 0 setzte und dann ineinander einsetze.
Leider bekomme ich dort einen nicht erfüllbaren Term herraus:
(1) f nach x = 0
<=> [mm] x^2 [/mm] = 1 - [mm] 2*y^2
[/mm]
(2) f nach y = 0
<=> [mm] 2*y^2 [/mm] = 2 - [mm] x^2
[/mm]
(2) in (1)
[mm] x^2 [/mm] = [mm] 1-2+x^2 [/mm] => 0 = -1
Zum einen hab ich die Frage, ob es bis dahin richtig ist.
Und zum anderen, was dies bedeutet.
Vielen Dank!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:55 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Bestimmen Sie alle Stellen lokaler Extrema der Funktion f:
> R² -> R.
> Entscheiden Sie ob es sich dabei um ein Max. oder Min.
> handelt.
>
> f(x,y) = [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm] * [mm]e^{-(x^2 + y^2)}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich galube ich habe da noch Einiges nicht richtig
> verstanden.
>
> Um verdächtige Stellen zu finden, setzte ich den (grad
> f)(x,y) doch gleich (0,0).
> Das machte ich indem ich die partiellen Ableitungen nach x
> und y gleich 0 setzte und dann ineinander einsetze.
>
> Leider bekomme ich dort einen nicht erfüllbaren Term
> herraus:
>
> (1) f nach x = 0
> <=> [mm]x^2[/mm] = 1 - [mm]2*y^2[/mm]
>
> (2) f nach y = 0
> <=> [mm]2*y^2[/mm] = 2 - [mm]x^2[/mm]
>
> (2) in (1)
> [mm]x^2[/mm] = [mm]1-2+x^2[/mm] => 0 = -1
>
> Zum einen hab ich die Frage, ob es bis dahin richtig ist.
> Und zum anderen, was dies bedeutet.
Soweit ich das überblicke heißt "0=-1", dass das bisher nicht richtig ist. Ich schätze, du hast dich einfach irgendwo verrechnet, denn ich erhalte für (1): [mm] \gdw x^2=1-y^2
[/mm]
Und für y müsste das genau das selbe sein, nur mit x und y vertauscht. Wenn du dann das eine in das andere einsetzt, bekommst du 0=0 heraus, was zwar glaube ich im Moment auch nicht weiterhilft, aber zumindest eine wahre Aussage ist, und der Rechenweg bis dahin eigentlich stimmen müsste. 
Viele Grüße
Bastiane
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
P.S.: Ich glaube, so eine ähnliche Aufgabe, wenn nicht sogar dieselbe, habe ich auch mal gerechnet, und ich meine, ich hätte da auch eine Frage hier gestellt. Vielleicht suchst du mal in der Analysis nach allen Artikeln von "Bastiane" - evtl. mit dem Suchbegriff "Extrema" oder "Ableitung" oder so.
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Hallo spritey!
Du hast ja bereits jeweils kritische Stellen unterschlagen ...
Zum Beispiel lautet die partielle Ableitung nach $x_$ :
[mm] $\bruch{\partial}{\partial x}f(x;y) [/mm] \ = \ [mm] 2x*e^{-x^2-y^2}+\left(x^2+y^2\right)*e^{-x^2-y^2}*(-2x) [/mm] \ = \ [mm] 2x*e^{-x^2-y^2}*\left(1-x^2-y^2\right)$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial}{\partial y}f(x;y) [/mm] \ = \ [mm] 2y*e^{-x^2-y^2}+\left(x^2+y^2\right)*e^{-x^2-y^2}*(-2y) [/mm] \ = \ [mm] 2y*e^{-x^2-y^2}*\left(1-x^2-y^2\right)$
[/mm]
Damit ergibt sich als erste kritische Stelle [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ und daraus dann auch: [mm] $y^2 [/mm] \ = \ [mm] 1-0^2 [/mm] \ = \ 1$ [mm] $\gdw$ $y_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ 1$ .
Analog auch umgekehrt mit [mm] $y_3 [/mm] \ = \ 0$ und [mm] $x_{2/3} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ 1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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