Extrema impliziter Fkt. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In welchen Punkten besitzt die Kurve lokale Max oder Min?
[mm] F(x,y)=x^2+4xy+6y^2+6y-8=0 [/mm] |
Ableitung der impliziten Funktion ist ja
[mm] y'=-\bruch{2x+4y}{4x+12y+6}
[/mm]
Diese setzte ich Null und da kommt für y raus: [mm] y=-\bruch{x}{2}
[/mm]
Die Frage ist wie gehts jetzt weiter? Wo muss ich das jetzt einsetzen um auf die Punkte (x1,y1)=(-2,1) und (x2,y2)=(8,-4) zu kommen? (--> das steht in der Lösung aber natürlich ohne Zwischenschritte) Egal wo ich [mm] y=-\bruch{x}{2} [/mm] eingesetzt hab, ich komme nicht auf diese Punkte! Und normal sollte das ja kein Problem sein. Sowas bringt mich zum verzweifeln.
Weiter gehts ja dann mit [mm] \bruch{Fxx}{Fy} [/mm] wo ich die errechneten Punkte einsetze und dann schaue ob </>0...das is ja auch nicht mehr das Problem.
Kann mir einer kurz sagen wie ich jetzt mit [mm] y=-\bruch{x}{2} [/mm] weitermache? Muss ja schließlich nen Sinn haben das ich das ausrechne.
Danke schonmal!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Mi 25.03.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo nochmal,
die notwendigen Bedingungen sind doch, dass [mm] F_x=0 [/mm] und [mm] F_y=0 [/mm] sind. Hast du das schon einmal ausgerechnet und dann das eine in das andere eingesetzt?
Viele Grüße
Smarty
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Hi danke für die Antwort. Naja die Funktion ist ja implizit gegeben. Dadurch ist ja die notwendige bedingung nicht mehr das der Gradient =0 ist...soweit ich weiß. Ich habs trotzdem mal aus Spaß ausgerechnet und käme da auf nen Punkt [mm] (\bruch{2}{3},-\bruch{3}{2}) [/mm] ...was also auch nicht der aus der lösung ist. Es muss also irgendwie anders gehen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Mi 25.03.2009 | | Autor: | abakus |
> In welchen Punkten besitzt die Kurve lokale Max oder Min?
>
> [mm]F(x,y)=x^2+4xy+6y^2+6y-8=0[/mm]
Hallo,
wieso Maxima und Minima, wenn das ganze (angeblich) sowieso immer Null ist (du schreibst F(x,y)=...=0)
Im übrigen kannst du F(x,y) auch geschickter aufstellen:
[mm] F(x,y)=x^2+4xy+6y^2+6y-8
[/mm]
[mm] =x^2+4xy+4y^2+2y^2+6y-8
[/mm]
[mm] =(x+2y)^2+2(y^2+3y-4)
[/mm]
[mm] =(x+2y)^2+2((y+1,5)^2-6,25)
[/mm]
Mir würde da sofort ein Paar (x,y) einfallen, für das F(x,y) minimals wird...
Gruß Abakus
> Ableitung der impliziten Funktion ist ja
>
> [mm]y'=-\bruch{2x+4y}{4x+12y+6}[/mm]
> Diese setzte ich Null und da kommt für y raus:
> [mm]y=-\bruch{x}{2}[/mm]
>
> Die Frage ist wie gehts jetzt weiter? Wo muss ich das jetzt
> einsetzen um auf die Punkte (x1,y1)=(-2,1) und
> (x2,y2)=(8,-4) zu kommen? (--> das steht in der Lösung aber
> natürlich ohne Zwischenschritte) Egal wo ich
> [mm]y=-\bruch{x}{2}[/mm] eingesetzt hab, ich komme nicht auf diese
> Punkte! Und normal sollte das ja kein Problem sein. Sowas
> bringt mich zum verzweifeln.
>
> Weiter gehts ja dann mit [mm]\bruch{Fxx}{Fy}[/mm] wo ich die
> errechneten Punkte einsetze und dann schaue ob </>0...das
> is ja auch nicht mehr das Problem.
>
> Kann mir einer kurz sagen wie ich jetzt mit [mm]y=-\bruch{x}{2}[/mm]
> weitermache? Muss ja schließlich nen Sinn haben das ich das
> ausrechne.
> Danke schonmal!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Mi 25.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> > In welchen Punkten besitzt die Kurve lokale Max oder Min?
> >
> > [mm]F(x,y)=x^2+4xy+6y^2+6y-8=0[/mm]
> Hallo,
> wieso Maxima und Minima, wenn das ganze (angeblich)
> sowieso immer Null ist (du schreibst F(x,y)=...=0)
Zur Erklärung:
Die Gleichhung
F(x,y) = 0
definiert implizit eine (differenzierbare) Funktion
y = f(x),
also eine Funktion f mit
F(x,f(x)) = 0
Diese Funktion f ist auf Extremwerte zu untersuchen !!!!
FRED
> Im übrigen kannst du F(x,y) auch geschickter aufstellen:
> [mm]F(x,y)=x^2+4xy+6y^2+6y-8[/mm]
> [mm]=x^2+4xy+4y^2+2y^2+6y-8[/mm]
> [mm]=(x+2y)^2+2(y^2+3y-4)[/mm]
> [mm]=(x+2y)^2+2((y+1,5)^2-6,25)[/mm]
> Mir würde da sofort ein Paar (x,y) einfallen, für das
> F(x,y) minimals wird...
> Gruß Abakus
>
> > Ableitung der impliziten Funktion ist ja
> >
> > [mm]y'=-\bruch{2x+4y}{4x+12y+6}[/mm]
> > Diese setzte ich Null und da kommt für y raus:
> > [mm]y=-\bruch{x}{2}[/mm]
> >
> > Die Frage ist wie gehts jetzt weiter? Wo muss ich das jetzt
> > einsetzen um auf die Punkte (x1,y1)=(-2,1) und
> > (x2,y2)=(8,-4) zu kommen? (--> das steht in der Lösung aber
> > natürlich ohne Zwischenschritte) Egal wo ich
> > [mm]y=-\bruch{x}{2}[/mm] eingesetzt hab, ich komme nicht auf diese
> > Punkte! Und normal sollte das ja kein Problem sein. Sowas
> > bringt mich zum verzweifeln.
> >
> > Weiter gehts ja dann mit [mm]\bruch{Fxx}{Fy}[/mm] wo ich die
> > errechneten Punkte einsetze und dann schaue ob </>0...das
> > is ja auch nicht mehr das Problem.
> >
> > Kann mir einer kurz sagen wie ich jetzt mit [mm]y=-\bruch{x}{2}[/mm]
> > weitermache? Muss ja schließlich nen Sinn haben das ich das
> > ausrechne.
> > Danke schonmal!
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Aha...versteh es leider trotzdem nicht wie man dann auf die Punkte kommt. Die rechnen sich ja in der Lösung nicht umsonst -x/2 für y aus. Hab so ne Aufgabe noch nie gerechnet und hab keinen Plan wie die auf diese Punkte kommen. Oder Tomaten auf den Augen. Kann mir das bitte jemand an einem der beiden Punkte zeigen wie das geht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Mi 25.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du setzt dein y=-x/2 einfach in F(x,y)=0 ein. damit kriegst du ne quadratische Gl. fuer x. das ist alles.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Esperanza |
Ah jetzt hab ichs! Ich hatte das vorhin schonmal probiert mit dem einsetzen, kam aber auf Müll. War wohl ein Kürzungsfehler...tsss.
Danke euch.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
ist richtig.
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]"){kind=small}
