Extrema mehrerer Veränderliche < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Klempner |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f, und entscheiden Sie, ob es sich um Maxima
oder Minima handelt.
f: [mm] \IR^{2} \to \IR
[/mm]
[mm] f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}-y^{2}) [/mm] |
Hallo!
Laut dem was ich weiß, muss ich generell bei solchen Aufgaben zunächst die 1. und 2. Ableitung bilden und durch die Hesse-Matrix die Eigenvektoren und Eigenwerte bestimmen, die mir dann sagen, ob sie evtl. Maxima oder Minima sind.
So bin ich auch hier vorgegangen.
Meine Ableitungen:
[mm] f_{x}= 4x^{3}+4xy^{2}-4x [/mm] =0
[mm] f_{y}= 4x^{2}y+4y^{3}+4y [/mm] =0
[mm] f_{x,x}=12x^{2}+4y^{2}+4
[/mm]
[mm] f_{y,y}=4x^{2}+12y^{2}+4
[/mm]
[mm] f_{x,y}=f_{y,x}=8xy
[/mm]
die Hesse-Matrix ergibt:
[mm] \pmat{ 12x^{2}+4y^{2}+4 & 8xy \\ 8xy & 4x^{2}+12y^{2}+4 }
[/mm]
Weiter komme ich leider nicht, da ich Eigenvektoren und Eigenwerte immer nur mit Zahlen berechnet habe (also die Matrix bestand nur aus Zahlen) Wie gehe ich hier vor? Bzw. stimmt das überhaupt, was ich bis jetzt gemacht habe?
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f, und
> entscheiden Sie, ob es sich um Maxima
> oder Minima handelt.
>
> f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm]
>
> [mm]f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}-y^{2})[/mm]
> Hallo!
>
> Laut dem was ich weiß, muss ich generell bei solchen
> Aufgaben zunächst die 1. und 2. Ableitung bilden und durch
> die Hesse-Matrix die Eigenvektoren und Eigenwerte
> bestimmen, die mir dann sagen, ob sie evtl. Maxima oder
> Minima sind.
>
> So bin ich auch hier vorgegangen.
> Meine Ableitungen:
>
> [mm]f_{x}= 4x^{3}+4xy^{2}-4x[/mm] =0
> [mm]f_{y}= 4x^{2}y+4y^{3}+4y[/mm] =0
Hallo,
hier nun fehlt etwas:
das von Dir aufgestellte GS solltest Du nun auch lösen.
Das liefert Dir die Extremwertkandidaten, die Du dann in die Hessematrix einsetzt, womit sich Dein Problem gelöst haben dürfte.
Gruß v. Angela
>
> [mm]f_{x,x}=12x^{2}+4y^{2}\red{-}4[/mm]
> [mm]f_{y,y}=4x^{2}+12y^{2}+4[/mm]
> [mm]f_{x,y}=f_{y,x}=8xy[/mm]
>
> die Hesse-Matrix ergibt:
>
> [mm]\pmat{ 12x^{2}+4y^{2}\red{-}4 & 8xy \\
8xy & 4x^{2}+12y^{2}+4 }[/mm]
>
> Weiter komme ich leider nicht, da ich Eigenvektoren und
> Eigenwerte immer nur mit Zahlen berechnet habe (also die
> Matrix bestand nur aus Zahlen) Wie gehe ich hier vor? Bzw.
> stimmt das überhaupt, was ich bis jetzt gemacht habe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Klempner |
Hallo Angela,
dankeschön. ISt ja eigentlich auch logisch.
Okay, habe das jetzt mal ausprobiert, war nicht ganz einfach für mich...
habe zunächst einmal ausgeklammert:
für [mm] f_{x} [/mm] erhalte ich: [mm] 4x(x^{2}+y^{2}-x) [/mm] -->daraus folgt doch, dass entweder x= o , oder die Klammer null sein muss.
für [mm] f_{y} [/mm] erhalte ich: [mm] 4y(x^{2}+y^{2}+y)--> [/mm] daraud folgt, dass entweder y=0 oder die Klammer gleich null sein muss.
Dann habe ich die Klammern gleich gesetzt, da ja beide Null werden sollen.Ich habe keine Ahnung, ob man das überhaupt machen darf.
Dann erhalte ich, dass -x=y ist. Stimmt das soweit?
Wie gehe ich dann weiter vor? Ich erhalte dadurch ja nicht wirklich Zahlen in der Hesse-Matrix, sondern nur eine Unbekannte.
|
|
|
| |
|
Hallo Klempner,
> Hallo Angela,
>
> dankeschön. ISt ja eigentlich auch logisch.
> Okay, habe das jetzt mal ausprobiert, war nicht ganz
> einfach für mich...
>
> habe zunächst einmal ausgeklammert:
>
> für [mm]f_{x}[/mm] erhalte ich: [mm]4x(x^{2}+y^{2}-x)[/mm] -->daraus folgt
> doch, dass entweder x= o , oder die Klammer null sein
> muss.
Hier muss doch stehen: [mm]4x(x^{2}+y^{2}-\red{1})[/mm]
>
> für [mm]f_{y}[/mm] erhalte ich: [mm]4y(x^{2}+y^{2}+y)-->[/mm] daraud folgt,
> dass entweder y=0 oder die Klammer gleich null sein muss.
Hier muss doch stehen: [mm]4y(x^{2}+y^{2}+\red{1})[/mm]
>
> Dann habe ich die Klammern gleich gesetzt, da ja beide Null
> werden sollen.Ich habe keine Ahnung, ob man das überhaupt
> machen darf.
> Dann erhalte ich, dass -x=y ist. Stimmt das soweit?
Nein, das stimmt nicht.
>
> Wie gehe ich dann weiter vor? Ich erhalte dadurch ja nicht
> wirklich Zahlen in der Hesse-Matrix, sondern nur eine
> Unbekannte.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Klempner |
Okay, danke.
neuer Versuch:
zur Gleichung [mm] 4x(x^{2}+y^{2}-1)=0
[/mm]
1.) x=0
2.) [mm] (x^{2}+y^{2}-1)=0
[/mm]
[mm] x^{2}-1=-y^{2}
[/mm]
[mm] \wurzel{x^{2}-1}=-y
[/mm]
weiter komme ich nun nicht mehr. Das Gleiche mit der anderen Gleichung:
[mm] 4y(x^{2}+y^{2}+1)=0
[/mm]
1.) y=0
[mm] 2.)(x^{2}+y^{2}+1)=0
[/mm]
[mm] \wurzel{x^{2}+1}=-y
[/mm]
Kann mir bitte jemand helfen, wie ich diese Gleichungen richtig löse?
|
|
|
| |
|
Hallo Klempner,
> Okay, danke.
>
> neuer Versuch:
>
> zur Gleichung [mm]4x(x^{2}+y^{2}-1)=0[/mm]
>
> 1.) x=0
>
> 2.) [mm](x^{2}+y^{2}-1)=0[/mm]
> [mm]x^{2}-1=-y^{2}[/mm]
> [mm]\wurzel{x^{2}-1}=-y[/mm]
>
> weiter komme ich nun nicht mehr. Das Gleiche mit der
> anderen Gleichung:
>
> [mm]4y(x^{2}+y^{2}+1)=0[/mm]
>
> 1.) y=0
> [mm]2.)(x^{2}+y^{2}+1)=0[/mm]
> [mm]\wurzel{x^{2}+1}=-y[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand helfen, wie ich diese Gleichungen
> richtig löse?
Aus der Gleichung [mm]4x(x^{2}+y^{2}-1)=0[/mm] folgen 2 Fälle:
i) x=0
ii) [mm]x^{2}+y^{2}-1=0[/mm]
Für jeden dieser Fälle berechnest Du die Lösung der Gleichung
[mm]4y(x^{2}+y^{2}+1)=0[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
|
