Extrema mit Nebenbedingung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Di 12.10.2004 | | Autor: | Wessel |
Lieber Matheraum,
die Aufgabe ist echt einfach, aber ich raffe es nicht.
Bestimme alle Extrema von $f(x,y)=xy$ unter der Nebenbedingung $x+y=1$.
1. Bestimme die Räume:
$f: [mm] \IR^2 \to \IR, [/mm] f(x,y)=xy$
2. Definiere $g: [mm] \IR^2 \to \IR, [/mm] g(x,y)=x+y-1$
Dann ist die Nebenbedingung gegeben durch $g(x,y)=0$.
3. Untersuche, ob $f$ Extrema besitzt. Dazu berechne ich die Jordanmatrix:
[mm] $J_{(p,q)} [/mm] f = (q\ \ p)$
Die kritischen Stellen sind wegen [mm] $J_{(p,q)} [/mm] f (x,y) = 0$ gegeben durch $(x,-x) [mm] \in \IR^2$
[/mm]
Da die Punkte $(x,-x) [mm] \in \IR^2 [/mm] $ nicht die Nebenbedingung erfüllen, kommen die (freien) Extrema nicht in Frage.
4. Verwende nun die Lagrangsche Multiplikationsregel:
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = y = [mm] \lambda_1 \bruch{\partial g}{\partial x} [/mm] = [mm] \lambda_1 [/mm] *1 [mm] \gdw y=\lambda_1$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = x = [mm] \lambda_2 \bruch{\partial g}{\partial y} [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] *1 [mm] \gdw x=\lambda_2$
[/mm]
Also betrachte:
[mm] $y=\lambda_1$
[/mm]
[mm] $x=\lambda_2$
[/mm]
$x+y=1$
Ok, und ab hier scheiter ich. Habe ja 4 Unbekannte, aber nur drei Gleichungen... Man bin ich doof???
Danke,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Di 12.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Stefan
vermutlich bin ich zu naiv, oder ihr solltet mit der Aufgabe wirklich diese extrem komplizierten und schwierigen Sachen üben, die du in deinen Lösungsschritten hast.
So ganz ohne Grundwissen würde ich persönlich einfach die Nebenbedingung bei der Funktion einsetzen und das Minimum bestimmen. Also etwa so:
NB: $y=1-x$
Dies bei der Funktion eingesetzt:
$z=xy=x(1-x)$
Das sieht nach einer Parabel über der Geraden $x+y=1$ aus.
Davon das Minimum ---> [mm] $x=\bruch{1}{2}$
[/mm]
Somit hat die Funktion $z=xy$ bei [mm] $(\bruch{1}{2},\bruch{1}{2})$ [/mm] unter der gegebenen Nebenbedingung das Minimum.
Ich lasse die Frage doch einmal auf halbbeantwortet. Da muss es doch sicher noch etwas Komplizierteres geben! Wäre ja gelacht! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Mi 13.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Stefan!
> 4. Verwende nun die Lagrangsche Multiplikationsregel:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x} = y = \lambda_1 \bruch{\partial g}{\partial x} = \lambda_1 *1 \gdw y=\lambda_1[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y} = x = \lambda_2 \bruch{\partial g}{\partial y} = \lambda_2 *1 \gdw x=\lambda_2[/mm]
Hier machst du einen Fehler. Es muss beides Mal das gleiche [mm] $\lambda$ [/mm] sein. (Schau das in deinem Skript noch einmal nach.) Unterschiedliche [mm] $\lambda_i$'s [/mm] tauchen nur auf, wenn $g$ (die Funktion der Nebenbedingung) in einen [mm] $\IR^n$ [/mm] mit $n > 1$ abbildet.
> Also betrachte:
> [mm]y=\lambda_1[/mm]
> [mm]x=\lambda_2[/mm]
> [mm]x+y=1[/mm]
Dann hat man also:
$y = [mm] \lambda [/mm] = x$
und
$x+y=1$,
also:
[mm] $x=y=\frac{1}{2}$.
[/mm]
Ist die gleiche Lösung für von Paul (und auch nicht komplizierter zu rechnen), dennoch hat man hier mit Kanonen auf Spatzen geschossen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 Mi 13.10.2004 | | Autor: | Wessel |
Lieber Paulus, lieber Stefan,
herzlichen Dank Euch beiden! Die Lösung von Paulus ist ja schön bestechend - man sollte sich nicht so oft von den Überschriften ablenken lassen!
Und die Bemerkung von Stefan über die [mm] $\lambda$ [/mm] hat mir sehr geholfen. So genau steht es nicht im Skript - oder anders: Es steht sehr verschüsselt da. Aber nun ist das Licht im Hirn angeknippst!
Danke,
Stefan
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