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| Aufgabe | | Bestimme die kritischen Punkte und Werte von [mm] f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3 [/mm] auf dem Schnitt der Kugeloberfläche [mm] x^2+y^2+z^2=1 [/mm] mit der Ebene x+y+z=0. |
Hallo!
Ich rechne jetzt seit Stunden an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter.
Nach Lagrange habe ich die folgenden Gleichungen aufgestellt:
[mm] \vektor{3x^2 \\ 3y^2 \\ 3z^2} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{2x \\ 2y \\ 2z} [/mm] + [mm] \sigma \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Außerdem habe ich ja die Nebenbedingungen [mm] x^2+y^2+z^2=1 [/mm] und x+y+z=0.
Das heißt ich habe 5 Gleichungen und 5 Unbekannte und das müsste eigentlich zu lösen sein, aber ich komme nciht mehr weiter. Denn ich erhlate x=y=z und das ist glaube ich falsch und für [mm] \lambda=\bruch{3}{2} \cdot [/mm] (x+y) und für [mm] \sigma=-3xy. [/mm]
Stimmt das soweit? Wie komme ich weiter?
Es wäre super wenn mir jemand helfen kann oder nen Tipp geben kann.
Liebe Grüße Wiebke
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Hallo und einen schönen neuen Tag !
In dieser Aufgabe ist alles so suuuper-symmetrisch
in x,y und z ! So müssen wohl auch die Lösungen
symmetrisch sein. Die Kugel hat den Mittelpunkt
O(0/0/0) und den Radius 1. Die Ebene geht durch
O und hat den Normalenvektor [mm] \vec{n}=(1,1,1)^T [/mm] .
Die Schnittkurve ist also der Großkreis der Kugel
in der besagten Ebene.
> Bestimme die kritischen Punkte und Werte von
> [mm]f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3[/mm] auf dem Schnitt der Kugeloberfläche
> [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm] mit der Ebene $\ x+y+z=0$ .
> Hallo!
> Ich rechne jetzt seit Stunden an dieser Aufgabe
> und komme einfach nicht weiter.
> Nach Lagrange habe ich die folgenden Gleichungen
> aufgestellt:
> [mm]\vektor{3x^2 \\ 3y^2 \\ 3z^2}=\lambda \vektor{2x \\ 2y \\ 2z}
+\sigma \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> Außerdem habe ich ja die
> Nebenbedingungen [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm] und $\ x+y+z=0$ .
> Das heißt ich habe 5 Gleichungen und 5 Unbekannte und das
> müsste eigentlich zu lösen sein, aber ich komme nicht
> mehr weiter. Denn ich erhalte x=y=z und das ist glaube ich
> falsch.
Das muss falsch sein, denn mit x+y+z=0
zusammen ergäbe dies x=y=z=0, und
dieser Punkt liegt nicht auf der Kugel.
> und für [mm]\lambda=\bruch{3}{2} \cdot[/mm] (x+y)
> und für
> [mm]\sigma=-3xy.[/mm]
> Stimmt das soweit?
Mit deinen Bezeichnungen bin ich auf [mm] \sigma=1 [/mm]
gekommen.
Ferner ist [mm] \lambda=\bruch{3}{2}*(x+y) [/mm] nur eine von zwei Möglichkeiten;
die zweite wäre x=y, was man dann weiter verwerten kann.
> Wie komme ich weiter?
> Es wäre super wenn mir jemand helfen kann oder nen Tipp
> geben kann.
> Liebe Grüße Wiebke
Um etwas einfachere Gleichungen zu bekommen,
habe ich statt [mm] \lambda [/mm] und [mm] \sigma [/mm] die Parameter u und v
definiert:
[mm] $\lambda:=\bruch{3}{2}\,u\qquad v:=\bruch{\sigma}{3}$
[/mm]
Die Gleichungen lauten dann:
(1) $\ [mm] x^2=u\,x+v$
[/mm]
(2) $\ [mm] y^2=u\,y+v$
[/mm]
(3) $\ [mm] z^2=u\,z+v$
[/mm]
(4) $\ [mm] x^2+y^2+z^2=1$ [/mm]
(5) $\ x+y+z=0$
Zuerst habe ich dann aus (1),(2) und (3) und
mittels (4) die Gleichung
(6) $\ [mm] u*(x+y+z)+3\,v=1$
[/mm]
und daraus wegen (5) die Gleichung [mm] 3\,v=1,
[/mm]
also [mm] v=\bruch{1}{3} [/mm] bzw. [mm] \sigma=1 [/mm] erhalten.
Ferner ergibt sich aus (4) und (5) die Gleichung
(7) $\ [mm] x^2+y^2+(-x-y)^2=1$
[/mm]
und daraus
(8) $\ [mm] x^2+y^2+x\,y=\bruch{1}{2}$
[/mm]
Aus der Differenz von (1) und (2):
(9) $ [mm] x^2-y^2=u*(x-y)$
[/mm]
Wegen der 3. binomischen Formel kann man
dann schließen, dass x=y oder x+y=u gelten
muss. Diese Möglichkeiten kann man nun
separat weiter verfolgen und kommt dann,
nach insgesamt ziemlich vielen weiteren
Schritten, zu quadratischen Gleichungen
z.B. für x . Insgesamt ergeben sich dann
6 (in Worten: sechs) Lösungstripel, die aber
insgesamt, wie es nach der obigen Vorüber-
legung sein muss, "symmetrisch" sind:
In jedem Lösungstripel haben zwei der
drei Koordinaten denselben Wert, nämlich
entweder c oder -c , wobei [mm] c=\bruch{1}{\wurzel{6}} [/mm] ist.
Die dritte Koordinate muss dann wegen
Gleichung (5) den Wert [mm] -2\,c [/mm] bzw. [mm] +2\,c
[/mm]
haben.
LG Al-Chwarizmi
P.S.: Ich frage mich noch, ob es nicht doch
einen deutlich kürzeren Lösungsweg
geben könnte. Eine erste Idee in dieser
Richtung war allerdings ein Holzweg...
Vorstellen könnte ich mir, dass eine
trigonometrische Parametrisierung des
Schnittkreises Sinn machen würde.
Die kritischen Stellen würden sich dann
wohl als Extremalstellen einer gewissen
trigonometrischen Funktion ergeben.
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Hallo,
mein Kollege Al-Chimedes hat mir soeben seine
Notizen zu einer geometrischen Lösung gezeigt,
die er vorher in der Badewanne aufgezeichnet
hat 
Das geht so:
Der Schnittkreis k liegt in der Ebene x+y+z=0
mit dem Normalenvektor [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] oder dem Normalen-
einheitsvektor
[mm] $\vec{n}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{\sqrt{3}}*\vektor{1\\1\\1}$
[/mm]
Nun denkt man sich in der Kreisebene ein recht-
winkliges x'-y'-Koordinatensystem mit zwei Basis-
vektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v}. [/mm] Mit [mm] \vec{n} [/mm] zusammen bilden diese ein
orthonormiertes Dreibein. Wählen wir für [mm] \vec{u}
[/mm]
einen Einheitsvektor in Richtung der Spurgeraden
der Kreisebene in der x-y-Ebene:
[mm] $\vec{u}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{\sqrt{2}}*\vektor{1\\-1\\0}$
[/mm]
Dann berechnen wir
[mm] $\vec{v}\ [/mm] =\ [mm] \vec{n}\times \vec{u}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{\sqrt{6}}*\vektor{1\\1\\-2}$
[/mm]
Der Kreis k wird nun mit einem Winkel [mm] \alpha
[/mm]
parametrisiert:
[mm] $\vec{r}(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \vec{u}*cos(\alpha)+\vec{v}*sin(\alpha)$
[/mm]
In den x-y-z-Koordinaten notiert ist dies:
[mm] $\vec{r}(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \vektor{x\\y\\z}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{S+C\\S-C\\-2S}$
[/mm]
wobei [mm] S=\bruch{sin(\alpha)}{\sqrt{6}} [/mm] und [mm] C=\bruch{cos(\alpha)}{\sqrt{2}}
[/mm]
Die Funktion f, deren auf dem Kreis k lie-
genden kritischen Punkte gesucht sind, ist
$\ f(x,y,z)\ =\ [mm] x^3+y^3+z^3\ [/mm] =\ [mm] (S+C)^3+(S-C)^3+(-2\,S)^3$
[/mm]
Ausgerechnet gibt dies [mm] 6\,S*(C^2-S^2). [/mm]
Einsetzen der Terme für S und C und
Anwendung der Formel [mm] sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1
[/mm]
ergibt die Zielfunktion, jetzt als Funk-
tion g des Winkels [mm] \alpha [/mm] geschrieben:
$\ [mm] g(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{\sqrt{6}}*(3\,s-4\,s^3)$ [/mm] , wobei $\ [mm] s=sin(\alpha)$
[/mm]
Ableitung:
$\ [mm] \bruch{dg(\alpha)}{d\alpha}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{3}{\sqrt{6}}*(1-4\,s^2)*\bruch{ds(\alpha)}{d\alpha}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{\bruch{3}{2}}*\left(1-4\,sin^2(\alpha)\right)*cos(\alpha)$
[/mm]
Diese Ableitung verschwindet genau dann,
wenn entweder [mm] cos(\alpha)=0 [/mm] oder [mm] |sin(\alpha)|=\bruch{1}{2}
[/mm]
ist. Dies führt auf die 6 möglichen
Hauptwerte
[mm] $\alpha_i=(2*i-1)*\bruch{\pi}{6}\qquad i\in\{1,2,\,...\,,6\}$
[/mm]
Die kritischen Punkte bilden ein regel-
mässiges Sechseck mit dem Umkreis k.
Man rechnet leicht nach, dass die in
ihnen angenommenen Werte der Funktion
[mm] g(\alpha_i) [/mm] bzw. [mm] f(x_i,y_i,z_i) [/mm] abwechselnd [mm] +\,\bruch{1}{\sqrt{6}} [/mm] oder
[mm] -\,\bruch{1}{\sqrt{6}} [/mm] sind.
LG Al-Chwarizmi
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