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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extrema mit Nebenbedingung
Extrema mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Extrema mit Nebenbedingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 Do 02.06.2011
Autor: dreamweaver

Aufgabe
Bestimme das Minimum und das Maximum der Funktion $f(x,y) = [mm] e^{2x-y}$ [/mm] unter der Nebenbedingung $xy + 2 = 0$
durch

(a) explizites Aufösen der Nebenbedingung und Einsetzen in f
(b) mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren.


Hallo!

a)
$F(x,y) = [mm] e^{2x-y}$ [/mm]
NB: $xy + 2 = 0$
Ich hab mal die Nebenbedingung nach $y$ aufgelöst.
Dann erhalte ich folgendes:
NB: $y = [mm] -\bruch{2}{x}$ [/mm]

Eingesetzt in $F$:
$f(x) = [mm] F(x,-\bruch{2}{x}) [/mm] = [mm] e^{2x+\bruch{2}{x}}$ [/mm]

Für die Extrema leite ich dich die Funktion $f(x)$ einmal ab:
[mm] $f^{(1)}(x) [/mm] = [mm] (2-\bruch{2}{x^{2}})e^{2x+\bruch{2}{x}}$ [/mm]

Ich wollte nun [mm] $f^{(1)}(x)$ [/mm] nullsetzen um die Extrema zu bestimmen. Nur macht mir die $e$ Funktion zu schaffen.
Wie rechne ich damit?

Ich hätte nur die Idee die Taylorentwicklung für $e$ einzusetzen, aber da muss es doch noch eine andere Möglichkeit geben oder?

Lg


        
Bezug
Extrema mit Nebenbedingung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:59 Do 02.06.2011
Autor: sangham


> Für die Extrema leite ich dich die Funktion [mm]f(x)[/mm] einmal
> ab:
>  [mm]f^{(1)}(x) = (2-\bruch{2}{x^{2}})e^{2x+\bruch{2}{x}}[/mm]
>  
> Ich wollte nun [mm]f^{(1)}(x)[/mm] nullsetzen um die Extrema zu
> bestimmen. Nur macht mir die [mm]e[/mm] Funktion zu schaffen.
>  Wie rechne ich damit?
>  
> Ich hätte nur die Idee die Taylorentwicklung für [mm]e[/mm]
> einzusetzen, aber da muss es doch noch eine andere
> Möglichkeit geben oder?
>  
> Lg


Wie wärs mit x=1, x= -1 ?
Die e-Funktion wird nie Null, also muss der Koeffizient verschwinden... lg

Bezug
        
Bezug
Extrema mit Nebenbedingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Do 02.06.2011
Autor: sangham


> Für die Extrema leite ich dich die Funktion [mm]f(x)[/mm] einmal
> ab:
>  [mm]f^{(1)}(x) = (2-\bruch{2}{x^{2}})e^{2x+\bruch{2}{x}}[/mm]
>  
> Ich wollte nun [mm]f^{(1)}(x)[/mm] nullsetzen um die Extrema zu
> bestimmen. Nur macht mir die [mm]e[/mm] Funktion zu schaffen.
>  Wie rechne ich damit?
>  
> Ich hätte nur die Idee die Taylorentwicklung für [mm]e[/mm]
> einzusetzen, aber da muss es doch noch eine andere
> Möglichkeit geben oder?
>  
> Lg

Wie wär's mit x=1, x=-1 ?
Die e-Funktion wird nie Null, also muss der Koeffizient verschwinden... lg

Bezug
                
Bezug
Extrema mit Nebenbedingung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:40 Do 02.06.2011
Autor: dreamweaver

Danke!

EDIT: HAT SICH ERLEDIGT!

nun zu b)

[mm] $f(x,y)=e^{2x-y}$ [/mm]
$g(x,y)=xy+2$


Die Funktion für die Methode der Lagrange Multiplikatoren lautet folgendermaßen:

[mm] $F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda [/mm] g(x,y)$

Dann bilde ich den Gradienten von $F$:

[mm] $F_{x}=2e^{2x-y}+\lambda [/mm] y = 0$
[mm] $F_{y}=-e^{2x-y}+\lambda [/mm] x = 0$
[mm] $F_{\lambda}=xy+2 [/mm] = 0$

EDIT: HAT SICH ERLEDIGT!
Lg

Bezug
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