Extrema mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Mo 07.05.2012 | | Autor: | meely |
Hallo liebes Forum,
zu meiner Frage gibt es keine genaue Aufgabenstellung, da mich der allgemeine Fall interessiert:
Gegeben sei eine Zielfunktion [mm]f(x,y)[/mm] und eine Nebenbedingung [mm]\varphi(x,y)[/mm]
nach
[mm]\frac{\partial F}{\partial x} =f_{x}+\lambda\varphi_x=0[/mm]
[mm]\frac{\partial F}{\partial y} =f_{y}+\lambda\varphi_y=0[/mm]
[mm]\frac{\partial F}{\partial \lambda} =\varphi=0[/mm]
wurden alle [mm]\lambda[/mm] und möglichen Extrema berechnet.
Anschließend will ich entscheiden ob es sich bei den möglichen Extrema um Minima oder Maxima handelt.
habe mir überlegt das anhand der Diskriminanten D zu entscheiden.
in meinem Formelheft habe ich eine Formel für D herrausgesucht:
[mm]D=F_{xx}*(\varphi_{y})^{2}-2F_{xy}*\varphi_{x}*\varphi_{y}+F_{yy}*(\varphi_{x})^{2}[/mm]
für [mm]D<0[/mm] Maximum
für [mm]D>0[/mm] Minimum
handelt es sich nicht dabei einfach nur um die Determinante der "geänderten Hessematrix" ?
im Fall ohne Nebenbedingung gilt ja: [mm]D=det(H)=f_{xx}*f_{yy}-f_{xy}^2[/mm]
Liebe Grüße :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Mo 07.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Hallo liebes Forum,
>
> zu meiner Frage gibt es keine genaue Aufgabenstellung, da
> mich der allgemeine Fall interessiert:
>
> Gegeben sei eine Zielfunktion [mm]f(x,y)[/mm] und eine
> Nebenbedingung [mm]\varphi(x,y)[/mm]
>
> nach
>
> [mm]\frac{\partial F}{\partial x} =f_{x}+\lambda\varphi_x=0[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial F}{\partial y} =f_{y}+\lambda\varphi_y=0[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial F}{\partial \lambda} =\varphi=0[/mm]
>
> wurden alle [mm]\lambda[/mm] und möglichen Extrema berechnet.
>
> Anschließend will ich entscheiden ob es sich bei den
> möglichen Extrema um Minima oder Maxima handelt.
>
> habe mir überlegt das anhand der Diskriminanten D zu
> entscheiden.
>
> in meinem Formelheft habe ich eine Formel für D
> herrausgesucht:
>
> [mm]D=F_{xx}*(\varphi_{y})^{2}-2F_{xy}*\varphi_{x}*\varphi_{y}+F_{yy}*(\varphi_{x})^{2}[/mm]
>
> für [mm]D<0[/mm] Maximum
> für [mm]D>0[/mm] Minimum
>
> handelt es sich nicht dabei einfach nur um die Determinante
> der "geänderten Hessematrix" ?
ja. Das kann man nachrechnen:
Sei also [mm]F(x,y)=f(x,y)+\lambda*\varphi(x,y)[/mm]
Dann ist die Hessematrix von F gegeben durch
[mm]H_F=\pmat{ F_{xx} & F_{xy} & \varphi_x\\
F_{yx} & F_{yy} & \varphi_y\\
\varphi_x & \varphi_y & 0 } [/mm]
>
> im Fall ohne Nebenbedingung gilt ja:
> [mm]D=det(H)=f_{xx}*f_{yy}-f_{xy}^2[/mm]
>
>
> Liebe Grüße :)
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Mo 07.05.2012 | | Autor: | meely |
freut mich, vielen lieben Dank :)
Liebe Grüße, Meely
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Mo 07.05.2012 | | Autor: | meely |
Hallo, mir ist noch eine kleine Frage eingefallen:
Gibt es auch ein ähnlich einfaches Schema für 2 Nebenbedingungen ?
Liebe Grüße :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Mo 07.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
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> Hallo, mir ist noch eine kleine Frage eingefallen:
>
> Gibt es auch ein ähnlich einfaches Schema für 2
> Nebenbedingungen ?
ja. Das Verfahren lässt sich auch für mehrere Nebenbedingungen anwenden.
Willst du Extrema von f bestimmen unter den Bedingungen [mm]g_1=0,g_2=0,...,g_n=0[/mm], so lautet die Lagrangefunktion
[mm]F=f+\summe_{i=1}^{n} \lambda_i*g_i[/mm]
> Liebe Grüße :)
Gruß
barsch
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:27 Mo 07.05.2012 | | Autor: | meely |
Hallo und danke nochmal für die Antwort.
Wie ich die Lagrange Funktion unter mehrerer Nebenbedingungen aufstelle ist mir klar. Habe mich leider nicht genau ausgedrückt:
Gibt es für den Fall von 2 Nebenbedingungen auch eine Möglichkeit zu erkennen ob ein ermittelter Punkt ein Minimum oder Maximum ist? (so wie det(H)<0 Maximum, det(H)>0 Minimum).
könnte mir vorstellen dass das Ebenfalls mit der Determinante der Hessematrix ermittelbar ist, jedoch scheitere ich daran mir meine Hessematrix richtig auf zu stellen..
Liebe Grüße :)
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Hallo,
eine Möglickeit wäre es deine errechneten Punkte in die Funktion f ein zu setzten und zu vergleichen. Größerer Wert ist dein Maximum, kleinerer Wert dein Minimum.
eine weitere Möglichkeit wäre (aufjeden Fall für den Fall einer Nebenbedingung) noch die funktion f wie folgt auf zu schreiben:
(hier mit 2 Variablen)
$g(x)=f(x,y(x))$
[mm] $g'(x)=f_{x}+f_{y}y'$
[/mm]
[mm] $g''(x)=f_{xx}+f_{xy}y'+(f_{xy}+f_{yy}y')y'+f_{y}y''$
[/mm]
hier musst du dann y' und y'' durch implizites Differenzieren der Nebenbedingung berechnen.
anschließend betrachtest du g''(x) ob größer oder kleiner Null. (g''<0 --> Maximum ; g''>0 --> Minimum).
Probleme bekommst du auf jeden fall wenn eine Extremalstelle an einem singulären Punkt der der durch [mm] $\varphi(x,y)=0$ [/mm] def. Kurve liegt. Dann kannst du das nicht mit Lagrange lösen.
Ich stell mal auf "teilweise Beantwortet". Glaube es gibt noch mehrere Möglichkeiten...
LG
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:07 Mo 07.05.2012 | | Autor: | meely |
Hallo :)
Danke für die Antwort. das Schema mit g'' kenne ich. kann man das nicht mit der Determinante der Hessematrix umgehen ?
Liebe Grüße :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 09.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 09.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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