Extrema mit Nebenbedingungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:03 Mo 05.09.2011 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | Suchen Sie das Maximum und das Minimum der Funktion
f(x,y) [mm] =(x+y)^2 +1/2(x-y-1/2)^2
[/mm]
auf der Menge
[mm] \{(x,y)\in\IR^2| x^2+y^2\le1\} [/mm] \ [mm] \{(x,y)\in\IR^2| x >0 ,y<0\} [/mm] |
guten Tag,
meine Frage:
wie ich R1 unddas R2 ausrechne und das Minimum bekomme weiss ich,
ich weiss nicht wie ich bei R3 mit R3 = [mm] {(x,y)|x^2+y^2=1, (x,y)>=(0,0)}
[/mm]
die Punkte in den 1.2. und 3. Quadranten ausrechne
ich setze R3 an mit
grad L = [mm] \vektor{3x+y-1/2 +2x*lambda\\ 3*y+x+1/2 +2*y*lamda\\x^2+y^2-1}=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
wie komme ich von hier auf den Punkt P1 in Quadrant 1
P2 in Quadrant 2 und P3 in Quadrant 3?
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Hallo Lisa,
Was ist mit [mm] R_1 [/mm] , [mm] R_2 [/mm] und [mm] R_3 [/mm] gemeint ??
LG Al-Chw.
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> Suchen Sie das Maximum und das Minimum der Funktion
>
> f(x,y) [mm]=(x+y)^2 +1/2(x-y-1/2)^2[/mm]
>
> auf der Menge
> [mm]\{(x,y)\in\IR^2| x^2+y^2\le1\}[/mm] \ [mm]\{(x,y)\in\IR^2| x >0 ,y<0\}[/mm]
>
> guten Tag,
Hallo,
Du sollst also die Extremwerte von f über dem Viertel des Einheitskreises bestimmen, welches im 2.Quadranten liegt.
den drei Vierteln des Einheitskreises bestimmen, welche im 1., 2., 3. Quadranten liegen.
>
> meine Frage:
>
> wie ich R1 unddas R2 ausrechne und das Minimum bekomme
> weiss ich,
Kannst Du mal sagen, was Du mit "R1" und "R2" meinst, und was es mit der Menge R3 auf sich hat?
Sind das Bezeichnungen aus der Vorlesung, oder ist die Aufgabenstellung umfangreicher als von Dir angegeben?
Was planst Du gerade?
> ich weiss nicht wie ich bei R3 mit R3 = [mm]{(x,y)|x^2+y^2=1, (x,y)>=(0,0)}[/mm]
Hm. Das ist der Rand des Viertels des Einheitskreises im 1.Quadranten.
Was hast Du damit vor?
Prinzipiell würde man bei der Aufgabe zunächst "ganz normal" (Gradient, Hessematrix) die Extremwerte von f uber dem [mm] \IR^2 [/mm] berechnen, schauen, welche davon im fraglichen Bereich liegen. Anschließend würde man mit Lagrange den Rand des Gebietes untersuchen.
Gruß v. Angela
>
> die Punkte in den 1.2. und 3. Quadranten ausrechne
>
> ich setze R3 an mit
>
> grad L = [mm]\vektor{3x+y-1/2 +2x*lambda\\
3*y+x+1/2 +2*y*lamda\\
x^2+y^2-1}=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm]
>
> wie komme ich von hier auf den Punkt P1 in Quadrant 1
> P2 in Quadrant 2 und P3 in Quadrant 3?
>
>
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> > Suchen Sie das Maximum und das Minimum der Funktion
> >
> > f(x,y) [mm]=(x+y)^2 +1/2(x-y-1/2)^2[/mm]
> >
> > auf der Menge
> > [mm]\{(x,y)\in\IR^2| x^2+y^2\le1\}[/mm] \ [mm]\{(x,y)\in\IR^2| x >0 ,y<0\}[/mm]
> Du sollst also die Extremwerte von f über dem Viertel des
> Einheitskreises bestimmen, welches im 2.Quadranten liegt. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die Menge ist nicht ein Viertelkreis, sondern ein
Dreiviertelkreis (1., 2. und 3. Quadrant) !
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Mo 05.09.2011 | | Autor: | lisa11 |
ja es ist ein Dreiviertelkreis so ist die Zeichnung ja
aber ich verstehe noch immer nicht wie man von der Gradientenmatrix
wie oben zu den Punkten in den Quadranten vom Dreiviertelkreis kommt..
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:07 Mo 05.09.2011 | | Autor: | lisa11 |
sie haben den Punkt R3 in dem Kreis definiert mit:
R3 = [mm] {(x,y)|x^2+y^2= 1, (x,y) >=(0,0)}
[/mm]
R1 = {(x,0)| 0<=x<=1}
R2 = {(0,y)| -1<=y<=0}
dann kann man damit R1 und R2 ausrechnen also das minimum
fuer R3 haben Sie dann den Gradient L bestimmt von von dorten
die Punkte im 1. und 2. und 3. Quadrant nur dies verstehe ich nicht
wieso ..
Loest man die Gradientenmatrix nach x und y auf oder wie macht man
das?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Mo 05.09.2011 | | Autor: | lisa11 |
Ist es so das der Rand des Viertels im 2.Quadranten
[mm] 2*(x^2+y^2) [/mm] = 2 gilt
und im dritten Quadranten
[mm] 2*(x^2+y2) [/mm] + [mm] x^2+y^2 [/mm] = 3 ist
diese nehme ich dann fuer die Aufstellung der Lagrange Funktion?
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> Ist es so das der Rand des Viertels im 2.Quadranten
> [mm]2*(x^2+y^2)[/mm] = 2 gilt
>
> und im dritten Quadranten
>
> [mm]2*(x^2+y^2)[/mm] + [mm]x^2+y^2[/mm] = 3 ist
>
> diese nehme ich dann fuer die Aufstellung der Lagrange
> Funktion?
Hallo Lisa,
eine erste Betrachtung wäre die (ich weiß nicht, ob du
die schon durchgeführt hast), wo allenfalls Punkte mit
[mm] $\overrightarrow{grad}\,f=\overrightarrow{0}$ [/mm] liegen.
Die Rechnung zeigt, dass kein solcher potentieller
Extremalpunkt im betrachteten Gebiet liegt.
Zweitens muss man dann den Rand des Dreiviertel-
kreisgebietes nach Randextrema zu untersuchen. Dieser
Rand besteht aus den beiden Strecken von (0|-1) nach (0|0)
und von (0|0) nach (1|0) und dem Dreiviertelkreis.
Die Lagrange-Methode würde ich beiseite lassen und
stattdessen Parametrisierungen verwenden. Für den
Dreiviertelkreis einfach:
[mm] $\pmat{x(t)\\y(t)}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{cos(t)\\sin(t)}$ [/mm] wobei [mm] $t\in\left[\,0\,...\,\frac{3}{2}\,\pi\,\right]$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mo 05.09.2011 | | Autor: | lisa11 |
danke ja
den Rand das habe ich gemacht mit R1
R1 = f(x,0) = [mm] x^2+1/2(x-1/2)^2 [/mm] -->
x = 1/6
somit f(1/6,0) = 1/12
R2 den 2. Rand mit
f(0,y) = [mm] 3/2y^2+1/2y+1/8
[/mm]
-->y = -1/6
f(0,-1/6) = 1/12
f(0,-1) = 9/8
und jetzt den 3. Randpunkt
wie geht dies?
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> den Rand das habe ich gemacht mit R1
>
> R1 = f(x,0) = [mm]x^2+1/2(x-1/2)^2[/mm] -->
> x = 1/6
> somit f(1/6,0) = 1/12
>
> R2 den 2. Rand mit
> f(0,y) = [mm]3/2y^2+1/2y+1/8[/mm]
> -->y = -1/6
> f(0,-1/6) = 1/12
> f(0,-1) = 9/8
Du musst auch noch die Punkte (0,0) und (1,0) in
Betracht ziehen (Randpunkte der Randstrecken) !
Aha, jetzt verstehe ich, was die [mm] R_i [/mm] bedeuten sollten ...
> und jetzt den 3. Randpunkt
Setze x:=cos(t) und y=sin(t) in die Zielfunktion ein und
untersuche die entstehende trigonometrische Funktion
für das Intervall $\ [mm] 0\le t\le \frac{3}{2}\pi$ [/mm] !
LG Al-Chw.
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