Extrema notwendig/hinreichend < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Di 06.01.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Man untersuche die Funktion [mm] f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}
[/mm]
[mm] f(x)=x^3+ax^2+bx
[/mm]
auf lokale Extrema in Abhängigkeit von den Paramteren a,b [mm] \in \mathbb{R}
[/mm]
(Taylorreihen hab ich nicht zur Verfügung) |
Hallo,
Eine hinreichende Bedingung für Extrema ist f'(x)=0, f''(x)>0 (f''(x)<0)
[mm] f'(x)=3x^2+2ax+b
[/mm]
f''(x)=6x+2a
f'''(x)=6
f'(x)=0
[mm] 3x^2+2ax+b=0
[/mm]
[mm] x_{1,2}= \frac{-a\pm\sqrt{a^2-3b}}{3}
[/mm]
Falls [mm] a^2 [/mm] -3b >0 gibt es zwei Lösungen [mm] x_1, x_2 [/mm] wobei [mm] f''(x_1)=f(\frac{-a+\sqrt{a^2-3b}}{3})>0 [/mm] somit ein Min und [mm] f''(x_2)=f(\frac{-a-\sqrt{a^2-3b}}{3})<0 [/mm] somit ein Maximum.
Falls [mm] a^2-3b=0 [/mm] gibt es eine reelle Lösung [mm] x=\frac{-a}{3}. [/mm] Da aber f''(x)=0 ist kann ich nicht eindeutig sagen ob es ein Extrema ist.
Nun wollte ich überprüfen wie es um die Monotonie nahe bei [mm] x=\frac{-a}{3} [/mm] aussieht:
[mm] \delta>0
[/mm]
[mm] f'(\frac{-a}{3}+\delta)=\frac{a^2}{3}-2a\delta+3\delta^2-2\frac{a^2}{3}+2a\delta+b\ge [/mm] b [mm] \ge [/mm] 0
[mm] b\ge [/mm] 0 folgt aus [mm] a^2-3b=0
[/mm]
[mm] f'(\frac{-a}{3}-\delta)=\frac{a^2}{3}+2a\delta+3\delta^2-2\frac{a^2}{3}-2a\delta+b \ge -2\frac{a^2}{3}+b=-\frac{a^2+a^2-3b}{3}=-\frac{a^2}{3}\le [/mm] 0
Daraus folgt doch für [mm] a^2-3b=0 [/mm] mit a,b [mm] \not=0 [/mm] handelt es sich um Extrema oder?
Bei [mm] a^2-3b<0 [/mm] hab ich übrigens keine reelle Lösung.
[mm] a^2-3*b<0 \iff 3*b-a^2>0 [/mm]
[mm] f'(x)=3x^2+2ax+b=3*(x+\frac{a}{3})^2+b-\frac{a^2}{3}>0 \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
Daraus folgt für [mm] a^2-3b<0 [/mm] ist die Funktion streng monoton steigend. Hat also ihr Maximum und Minimum für x [mm] \to \pm \infty. [/mm] Spricht man da überhaupt noch von Extrema bei unendlich? Eher nicht oder?
LG,
sissi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Di 06.01.2015 | | Autor: | Fulla |
> Man untersuche die Funktion [mm]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm]
> [mm]f(x)=x^3+ax^2+bx[/mm]
> auf lokale Extrema in Abhängigkeit von den Paramteren a,b
> [mm]\in \mathbb{R}[/mm]
>
> (Taylorreihen hab ich nicht zur Verfügung)
> Hallo,
>
> Eine hinreichende Bedingung für Extrema ist f'(x)=0,
> f''(x)>0 (f''(x)<0)
>
> [mm]f'(x)=3x^2+2ax+b[/mm]
> f''(x)=6x+2a
> f'''(x)=6
>
> f'(x)=0
> [mm]3x^2+2ax+b=0[/mm]
> [mm]x_{1,2}= \frac{-a\pm\sqrt{a^2-3b}}{3}[/mm]
> Falls [mm]a^2[/mm] -3b >0
> gibt es zwei Lösungen [mm]x_1, x_2[/mm] wobei
> [mm]f''(x_1)=f(\frac{-a+\sqrt{a^2-3b}}{3})>0[/mm] somit ein Min und
> [mm]f''(x_2)=f(\frac{-a-\sqrt{a^2-3b}}{3})<0[/mm] somit ein
> Maximum.
Hallo sissi,
bis hier ist alles richtig!
> Falls [mm]a^2-3b=0[/mm] gibt es eine reelle Lösung [mm]x=\frac{-a}{3}.[/mm]
> Da aber f''(x)=0 ist kann ich nicht eindeutig sagen ob es
> ein Extrema ist.
Aus [mm]f^{\prime\prime}\left(-\frac a3\right)=0[/mm] und [mm]f^{\prime\prime\prime}\left(-\frac a3\right)=6\neq 0[/mm] folgt, dass dort ein Wendepunkt vorliegt. (Mit waagerechter Wendetangente wegen [mm]f^\prime\left(-\frac a3\right)=0[/mm] )
> Nun wollte ich überprüfen wie es um die Monotonie nahe
> bei [mm]x=\frac{-a}{3}[/mm] aussieht:
> [mm]\delta>0[/mm]
>
> [mm]f'(\frac{-a}{3}+\delta)=\frac{a^2}{3}-2a\delta+3\delta^2-2\frac{a^2}{3}+2a\delta+b\ge[/mm]
> b [mm]\ge[/mm] 0
> [mm]b\ge[/mm] 0 folgt aus [mm]a^2-3b=0[/mm]
>
> [mm]f'(\frac{-a}{3}-\delta)=\frac{a^2}{3}+2a\delta+3\delta^2-2\frac{a^2}{3}-2a\delta+b \ge -2\frac{a^2}{3}+b=-\frac{a^2+a^2-3b}{3}=-\frac{a^2}{3}\le[/mm]
> 0
> Daraus folgt doch für [mm]a^2-3b=0[/mm] mit a,b [mm]\not=0[/mm] handelt es
> sich um Extrema oder?
Wenn schon, dann ist es ein Extremum...
Du vergisst hier die Bedingung [mm]a^2-3b=0[/mm], bzw. [mm]b=\frac{ a^2}{ 3}[/mm]. Untersuche also [mm]f^\prime(x)=3x^2+2ax+\frac{a^2}{3}[/mm].
> Bei [mm]a^2-3b<0[/mm] hab ich übrigens keine reelle Lösung.
Richtig.
> [mm]a^2-3*b<0 \iff 3*b-a^2>0[/mm]
> [mm]f'(x)=3x^2+2ax+b=3*(x+\frac{a}{3})^2+b-\frac{a^2}{3}>0 \forall[/mm]
> x [mm]\in \IR[/mm]
Das verstehe ich nicht...
> Daraus folgt für [mm]a^2-3b<0[/mm] ist die Funktion
> streng monoton steigend. Hat also ihr Maximum und Minimum
> für x [mm]\to \pm \infty.[/mm] Spricht man da überhaupt noch von
> Extrema bei unendlich? Eher nicht oder?
Nein, tut man nicht. "Unendlich" ist ja keine Zahl. Du kannst also die Stellen, wo die Extrema liegen nicht genau benennen, wie z.B. "Maximum bei x=2".
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Di 06.01.2015 | | Autor: | sissile |
Danke für deine Antwort!!
> Aus [mm]f^{\prime\prime}\left(-\frac a3\right)=0[/mm] und
> [mm]f^{\prime\prime\prime}\left(-\frac a3\right)=6\neq 0[/mm] folgt,
> dass dort ein Wendepunkt vorliegt. (Mit waagerechter
> Wendetangente wegen [mm]f^\prime\left(-\frac a3\right)=0[/mm] )
Wieso handelt es sich hier um kein Extremum? Ich kann keine Sätze verwenden, die nicht in der Vorlesung waren oder ich nicht beweisen kann. Schulwissen ist nicht erlaubt ohne Beweise. Ist der Beweis einfach? Mein Standtartwerk ist Forster.
Wenn die dritte Ableitung nicht 0 ist ändert sich hier nicht das Krümmungsverhalten aber wieso sagt mir das schon aus, dass es hier kein Extremum geben kann?
> Du vergisst hier die Bedingung [mm]a^2-3b=0[/mm], bzw. [mm]b=\frac{ a^2}{ 3}[/mm].
> Untersuche also [mm]f^\prime(x)=3x^2+2ax+\frac{a^2}{3}[/mm].
[mm] f^\prime(\frac{-a}{3}+\delta)=3\delta^2-\frac{2a^2}{3}
[/mm]
[mm] f^\prime(\frac{-a}{3}-\delta)=3\delta^2-\frac{2a^2}{3}
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] \frac{-a}{3}kein [/mm] Extremum ist, da sich nicht die Monotonie verändert.
Ist das so okay?
> > Bei [mm]a^2-3b<0[/mm] hab ich übrigens keine reelle Lösung.
>
> Richtig.
> $ [mm] a^2-3\cdot{}b<0 \iff 3\cdot{}b-a^2>0 [/mm] $
> $ [mm] f'(x)=3x^2+2ax+b=3\cdot{}(x+\frac{a}{3})^2+b-\frac{a^2}{3}>0 \forall [/mm] $
> x $ [mm] \in \IR [/mm] $
> Das verstehe ich nicht...
Ich habe die erste Ableitung umgeformt aus [mm] 3\cdot{}b-a^2>0 [/mm] und dass das Quadrat [mm] \ge [/mm] 0 ist folgt, dass die erste Ableitung immer >0 für [mm] a^2-3\cdot{}b<0, [/mm] d.h. es haldelt sich in dem Fall um eine streng monoton steigende Funktion, die ihre Extrema nur an den Randpunkten hätte die aber unendlich und minus unendlich sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Mi 07.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissi,
> Danke für deine Antwort!!
>
> > Aus [mm]f^{\prime\prime}\left(-\frac a3\right)=0[/mm] und
> > [mm]f^{\prime\prime\prime}\left(-\frac a3\right)=6\neq 0[/mm] folgt,
> > dass dort ein Wendepunkt vorliegt. (Mit waagerechter
> > Wendetangente wegen [mm]f^\prime\left(-\frac a3\right)=0[/mm] )
> Wieso handelt es sich hier um kein Extremum? Ich kann
> keine Sätze verwenden, die nicht in der Vorlesung waren
> oder ich nicht beweisen kann. Schulwissen ist nicht erlaubt
> ohne Beweise. Ist der Beweis einfach? Mein Standtartwerk
> ist Forster.
na, wie ist denn ein lokales Extremum in [mm] $x_0$ [/mm] definiert? Lokales Maximum:
Es gibt eine [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] so, dass ...
> Wenn die dritte Ableitung nicht 0 ist ändert sich hier
> nicht das Krümmungsverhalten
Was hat die dritte Ableitung mit dem Krümmungsverhalten zu tun? Dieses
wird durch die zweite bestimmt. Die dritte Ableitung beschreibt das
Krümmungsverhalten der Ableitungsfunktion!
> aber wieso sagt mir das schon
> aus, dass es hier kein Extremum geben kann?
>
>
> > Du vergisst hier die Bedingung [mm]a^2-3b=0[/mm], bzw. [mm]b=\frac{ a^2}{ 3}[/mm].
> > Untersuche also [mm]f^\prime(x)=3x^2+2ax+\frac{a^2}{3}[/mm].
> [mm]f^\prime(\frac{-a}{3}+\delta)=3\delta^2-\frac{2a^2}{3}[/mm]
> [mm]f^\prime(\frac{-a}{3}-\delta)=3\delta^2-\frac{2a^2}{3}[/mm]
> Daraus folgt, dass [mm]\frac{-a}{3}kein[/mm] Extremum ist, da sich
> nicht die Monotonie verändert.
> Ist das so okay?
Nein - wobei bei Dir sicher [mm] $\delta [/mm] > 0$ sein soll. Hier ist absolut unklar, worauf Du
hinaus willst. Lokale Extremstellen werden nicht durch "Monotonieveränderungen"
definiert. Natürlich kann man aber öfters mal mit einem (gewissen) lokalen
Monotonieverhalten argumentieren, um zu zeigen, dass eine Funktion an
einer Stelle ein lokales Extremum hat oder nicht. Oben rechnest Du aber
einfach irgendwas und folgerst dann etwas, was mir so auf jeden Fall
unklar ist. Du betrachtest irgendwie um [mm] $x_0$ [/mm] symmetrische Punkte, an denen
Du die Ableitungsfunktion auswertest usw. usf., aber worauf Du da am
Ende hinaus willst, weiß ich nicht.
> > > Bei [mm]a^2-3b<0[/mm] hab ich übrigens keine reelle Lösung.
> >
> > Richtig.
> > [mm]a^2-3\cdot{}b<0 \iff 3\cdot{}b-a^2>0[/mm]
> >
> [mm]f'(x)=3x^2+2ax+b=3\cdot{}(x+\frac{a}{3})^2+b-\frac{a^2}{3}>0 \forall[/mm]
>
> > x [mm]\in \IR[/mm]
>
> > Das verstehe ich nicht...
> Ich habe die erste Ableitung umgeformt aus [mm]3\cdot{}b-a^2>0[/mm]
> und dass das Quadrat [mm]\ge[/mm] 0 ist folgt, dass die erste
> Ableitung immer >0 für [mm]a^2-3\cdot{}b<0,[/mm] d.h. es haldelt
> sich in dem Fall um eine streng monoton steigende Funktion,
> die ihre Extrema nur an den Randpunkten hätte die aber
> unendlich und minus unendlich sind.
Hier habe ich jetzt nicht mitgerechnet, aber wichtig ist auf jeden Fall, dass
Du nicht nur mit (strenger) Monotonie folgerst, dass eine Funktion gegen
[mm] $\pm \infty$ [/mm] (bei etwa $x [mm] \to \pm \infty$) [/mm] strebt.
Denn was hast Du schon bei (streng) monoton wachsenden Folgen gelernt?
Wenn sie nach oben beschränkt sind, dann sind sie... bzw. genauer:
(Streng) Wachsende Folgen sind genau dann nach oben beschränkt, wenn
sie konvergieren!
Aber hier hast Du ja eine nichtkonstante Polynomfunktion vorliegen...
P.S. Um Dir selbst die Unklarheiten in Deiner Argumentation klarer zu
machen, wäre es vielleicht gar nicht schlecht, alles mal auf eine konkrete
Fkt. anzuwenden. Wähle also vielleicht mal konkrete Parameter [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,,$
[/mm]
und plotte Dir vielleicht dann auch mal den Graphen der Fkt. für diese Wahl
der Parameter!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:15 Mi 07.01.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Wenn die erste Ableitung bei [mm] x_0 [/mm] verschwinden:
Die Stelle [mm] x_0 [/mm] ist ein lokales Maximum wenn f'(x) positiv für alle [mm] xx_0 [/mm] ist in einer Umgebung um [mm] x_0.
[/mm]
Das ergibt sich weil die Funktion links von [mm] x_0 [/mm] ansteigt und rechts von [mm] x_0 [/mm] fällt. D.h. [mm] \exists \epsilon>0: [/mm] f(x) [mm] \le f(x_0) [/mm] für alle [mm] x\in U_{\epsilon}(x_0)
[/mm]
Analog die Stelle [mm] x_0 [/mm] ist ein lokales Minimum wenn f'(x) negativ für alle [mm] xx_0 [/mm] ist in einer Umgebung um [mm] x_0.
[/mm]
Wir hatten die Frage ob es sich im Fall [mm] a^2-3b=0 [/mm] bei [mm] x_0=\frac{-a}{3} [/mm] um ein Extremum handelt. Da [mm] f''(x_0)=0 [/mm] mir keine Aussage gibt, wollte ich das obige Kriterium anwenden und für ein beliebig kleines [mm] \delta>0:
[/mm]
[mm] f^\prime(\frac{-a}{3}+\delta),f^\prime(\frac{-a}{3}+\delta) [/mm] überprüfen ob diese positiv oder negativ sind. Es kam aber nun heraus, dass beide das selbe Vorzeichen haben. Das heißt nahe bei [mm] x_0 [/mm] verändert sich das Monotonieverhalten nicht. Darf ich daraus keine Schlüsse ziehen?
> > Aus $ [mm] f^{\prime\prime}\left(-\frac a3\right)=0 [/mm] $ und
> > $ [mm] f^{\prime\prime\prime}\left(-\frac a3\right)=6\neq [/mm] 0 $ folgt,
> > dass dort ein Wendepunkt vorliegt. (Mit waagerechter
> > Wendetangente wegen $ [mm] f^\prime\left(-\frac a3\right)=0 [/mm] $ )
> Wieso handelt es sich hier um kein Extremum? Ich kann
> keine Sätze verwenden, die nicht in der Vorlesung waren
> oder ich nicht beweisen kann. Schulwissen ist nicht erlaubt
> ohne Beweise. Ist der Beweis einfach? Mein Standtartwerk
> ist Forster.
> na, wie ist denn ein lokales Extremum in $ [mm] x_0 [/mm] $ definiert? Lokales Maximum:
> Es gibt eine $ [mm] \delta [/mm] $-Umgebung von $ [mm] x_0 [/mm] $ so, dass ...
Ein Punkt [mm] x_0 [/mm] ist ein lokales Max von f wenn [mm] \exists \epsilon>0 \forall [/mm] x [mm] \in U_{\epsilon}(x_0):f(x_0) \ge [/mm] f(x)
Wie gesagt ich hab gelesen im Internet:Wenn die erste nichtverschwindende Ableitung an der Stelle [mm] x_0 [/mm] eine ungerade Ableitung ist, dann hat die Funktion [mm] f(x_0) [/mm] an dieser Stelle eine Sattelstelle.Wenn die erste nichtverschwindende Ableitung an der Stelle [mm] x_0 [/mm] eine gerade Ableitung ist, dann hat die Funktion [mm] f(x_0) [/mm] an dieser Stelle ein Extremum.
Aber das ist doch nur mit Taylor zu beweisen, aber das Bsp soll mit den Wissensstand des 1.Sem. gelöst werden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Mi 07.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Hallo,
>
> Wenn die erste Ableitung bei [mm]x_0[/mm] verschwinden:
> Die Stelle [mm]x_0[/mm] ist ein lokales Maximum wenn f'(x) positiv
> für alle [mm]xx_0[/mm] ist in einer
> Umgebung um [mm]x_0.[/mm]
ja, das ist richtig, es ist aber nur eine hinreichende Bedingung - keine
notwendige.
> Das ergibt sich weil die Funktion links von [mm]x_0[/mm] ansteigt
> und rechts von [mm]x_0[/mm] fällt.
>
> D.h. [mm]\exists \epsilon>0:[/mm] f(x)
> [mm]\le f(x_0)[/mm] für alle [mm]x\in U_{\epsilon}(x_0)[/mm]
Links von [mm] $x_0$ [/mm] steigt sie sogar (lokal) streng und rechts von [mm] $x_0$ [/mm] fällt sie
(lokal) streng. Damit hättest Du sogar
[mm] $f(x_0) [/mm] > f(x)$ für alle [mm] $x\,$ [/mm] "hinreichend nahe" an [mm] $x_0$.
[/mm]
Aber lokales Maximum bedeutet: Es gibt ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ so, dass für alle $x [mm] \in D_f$
[/mm]
mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt
[mm] $f(x_0) \ge f(x)\,.$
[/mm]
Kurz: "Für (alle) hinreichend nahe an [mm] $x_0$ [/mm] gelegenen [mm] $x\,$ [/mm] des Definitionsbereichs"
gilt [mm] $f(x_0) \ge [/mm] f(x)$.
Das ist i.a. etwas anderes wie das, was Du mit der "Links- und Rechtsmonotonie"
beschreibst. Schau' Dir dazu mal
[mm] $f(x)=\,-\,|\sin(1/x)|$ [/mm] ($x [mm] \not=0$)
[/mm]
mit f(0)=0 an. An [mm] $x_0=0$ [/mm] hat diese Funktion ein lokales Maximum, aber dort
wird in keiner Links- oder Rechtsumgebung ein reines Monotonieverhalten
der Funktion feststellbar sein.
Zum Rest vielleicht später, wenn ich dazu komme!
Gruß,
Marcel
> Analog die
> Stelle [mm]x_0[/mm] ist ein lokales Minimum wenn f'(x) negativ für
> alle [mm]xx_0[/mm] ist in einer
> Umgebung um [mm]x_0.[/mm]
>
>
> Wir hatten die Frage ob es sich im Fall [mm]a^2-3b=0[/mm] bei
> [mm]x_0=\frac{-a}{3}[/mm] um ein Extremum handelt. Da [mm]f''(x_0)=0[/mm] mir
> keine Aussage gibt, wollte ich das obige Kriterium anwenden
> und für ein beliebig kleines [mm]\delta>0:[/mm]
>
> [mm]f^\prime(\frac{-a}{3}+\delta),f^\prime(\frac{-a}{3}+\delta)[/mm]
> überprüfen ob diese positiv oder negativ sind. Es kam
> aber nun heraus, dass beide das selbe Vorzeichen haben. Das
> heißt nahe bei [mm]x_0[/mm] verändert sich das Monotonieverhalten
> nicht. Darf ich daraus keine Schlüsse ziehen?
>
>
> > > Aus [mm]f^{\prime\prime}\left(-\frac a3\right)=0[/mm] und
> > > [mm]f^{\prime\prime\prime}\left(-\frac a3\right)=6\neq 0[/mm]
> folgt,
> > > dass dort ein Wendepunkt vorliegt. (Mit waagerechter
> > > Wendetangente wegen [mm]f^\prime\left(-\frac a3\right)=0[/mm]
> )
> > Wieso handelt es sich hier um kein Extremum? Ich kann
> > keine Sätze verwenden, die nicht in der Vorlesung
> waren
> > oder ich nicht beweisen kann. Schulwissen ist nicht
> erlaubt
> > ohne Beweise. Ist der Beweis einfach? Mein
> Standtartwerk
> > ist Forster.
>
> > na, wie ist denn ein lokales Extremum in [mm]x_0[/mm] definiert?
> Lokales Maximum:
> > Es gibt eine [mm]\delta [/mm]-Umgebung von [mm]x_0[/mm] so, dass ...
> Ein Punkt [mm]x_0[/mm] ist ein lokales Max von f wenn [mm]\exists \epsilon>0 \forall[/mm]
> x [mm]\in U_{\epsilon}(x_0):f(x_0) \ge[/mm] f(x)
> Wie gesagt ich hab gelesen im Internet:Wenn die erste
> nichtverschwindende Ableitung an der Stelle [mm]x_0[/mm] eine
> ungerade Ableitung ist, dann hat die Funktion [mm]f(x_0)[/mm] an
> dieser Stelle eine Sattelstelle.Wenn die erste
> nichtverschwindende Ableitung an der Stelle [mm]x_0[/mm] eine gerade
> Ableitung ist, dann hat die Funktion [mm]f(x_0)[/mm] an dieser
> Stelle ein Extremum.
> Aber das ist doch nur mit Taylor zu beweisen, aber das Bsp
> soll mit den Wissensstand des 1.Sem. gelöst werden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Mi 07.01.2015 | | Autor: | abakus |
> ja, das ist richtig, es ist aber nur eine hinreichende
> Bedingung - keine
> notwendige.
>
Hallo Marcel,
lies dir selber mal in Ruhe durch, was du hier für einen widersinnigen Unfug geschrieben hast:
NUR hinreichend, ABER nicht notwendig?
Die Eigenschaft "hinreichend" ist wesentlich stärker als die (nicht ausreichende) Eigenschaft "notwendig".
Dein diskriminierendes "NUR" ist völlig fehl am Platze.
Weiter:
"Lokale Extremstellen werden nicht durch "Monotonieveränderungen" definiert."
Bist du dir da sicher? Es gibt dutzende Lehrbuchverfasser und sehr verschiedene Herangehensweisen.
Der eine postuliert dies und folgert daraus etwas anderes. Ein anderer wählt einen anderen Zugang mit umgekehrter Schlussrichtung.
Ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung (=Änderung des Monotonieverhaltens) ist auf alle Fälle ein schärferes Kriterium als "erste Ableitung muss Null sein und wenn-zweite-Ableitung auch-Null-ist-müssen-wir-mal-sehen" und auch eine mögliche Definition von lokalen Extremstellen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:31 Do 08.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
>
> > ja, das ist richtig, es ist aber nur eine hinreichende
> > Bedingung - keine
> > notwendige.
> >
> Hallo Marcel,
> lies dir selber mal in Ruhe durch, was du hier für einen
> widersinnigen Unfug geschrieben hast:
schlecht geschlafen?
> NUR hinreichend, ABER nicht notwendig?
> Die Eigenschaft "hinreichend" ist wesentlich stärker als
> die (nicht ausreichende) Eigenschaft "notwendig".
>
> Dein diskriminierendes "NUR" ist völlig fehl am Platze.
Dann streich' es für Dich doch. Wo ist das Problem? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
> Weiter:
> "Lokale Extremstellen werden nicht durch
> "Monotonieveränderungen" definiert."
> Bist du dir da sicher? Es gibt dutzende Lehrbuchverfasser
> und sehr verschiedene Herangehensweisen.
Natürlich, aber das wäre meiner Ansicht nach eine sehr unnatürliche
Vorgehensweise. Ich finde es aber auch unnötig, hier deswegen eine
Riesendiskussion zu starten. Meinetwegen mach' eine statistische
Auswertung dahingehend.
> Der eine postuliert dies und folgert daraus etwas anderes.
> Ein anderer wählt einen anderen Zugang mit umgekehrter
> Schlussrichtung.
Die Bedingung
[mm] $f(x_0) \ge [/mm] f(x)$ für alle hinreichend nahe an [mm] $x_0$ [/mm] gelegenen [mm] $x\,$ [/mm] des Def.-Bereichs
ist eine schwächere und anschaulich sehr natürliche Bedingung für ein
lokales Extremum. Schau' Dir meine Beispielfunktion an, und dann siehst
Du selber, dass sie dort *funktioniert*. Außerdem denke mal drüber nach,
wie Du mit Monotonieargumenten bei Funktionen arbeiten willst, deren
Definitionsbereich etwa Teilmenge des [mm] $\IR^n$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 2$ ist!
> Ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung (=Änderung des
> Monotonieverhaltens) ist auf alle Fälle ein schärferes
> Kriterium als "erste Ableitung muss Null sein und
> wenn-zweite-Ableitung auch-Null-ist-müssen-wir-mal-sehen"
> und auch eine mögliche Definition von lokalen
> Extremstellen.
Also ehrlich: Ich würde nie lokale Extremstellen schon mit Bedingungen
an die Ableitungen definieren. Denn das braucht man gar nicht. (Dass
eine Funktion differenzierbar ist, ist doch eigentlich schon etwas *starkes*!)
Wie Du das machst, ist mir dann aber, ganz ehrlich, auch egal.
Und ja: Ich finde Deine Art der Kritik hier vom Ton her nicht besonders
schön. Man kann auch anständig miteinander reden, aber dass sowas
manchmal einfach unnötig ausartet, hatten wir ja vor kurzem erst
festgestellt. Daher: Ich habe keine Lust auf solche Provokationen. Wenn
Du dahingehend wieder etwas sachlicher wirst, können wir gerne nochmal
weiterreden.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 15:05 Fr 09.01.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo Marcel,
Mir ist aber noch immer nicht klar, was ich im Fall f'(x)=0 und f''(x)=0 mache muss um endgültig zu bestimmen ob wir bei x ein Extremum haben oder keines.
Ohne einen Satz zu verwenden, den ich erst beweisen müsste mittels Taylor...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Fr 09.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissi,
> Hallo Marcel,
> Mir ist aber noch immer nicht klar, was ich im Fall
> f'(x)=0 und f''(x)=0 mache muss um endgültig zu bestimmen
> ob wir bei x ein Extremum haben oder keines.
> Ohne einen Satz zu verwenden, den ich erst beweisen
> müsste mittels Taylor...
für die Sätze, die man in der Schule lernt, ist Taylor zwar ein sehr elegantes
Mittel, um sie zu beweisen, aber man kann sie auch anders beweisen.
Unabhängig davon: Was darfst Du denn laut Deiner Unterlagen bisher alles
verwenden? Dir geht es ja meist darum, dass Du Beweise nur mit den bisher
zur Verfügung stehenenden Mitteln durchführen willst.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Fr 09.01.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Also das heißt ich muss die untenstehende Aussage beweisen um eindeutig fetsstellen zu können ob im Fall:
[mm] f(x_0)=0=f''(x_0) [/mm] es sich um ein Extremum handelt?
> "Wenn die erste nichtverschwindende Ableitung an der Stelle $ [mm] x_0 [/mm] $ eine ungerade Ableitung ist, dann hat die Funktion $ [mm] f(x_0) [/mm] $ an dieser Stelle eine Sattelstelle.Wenn die erste nichtverschwindende Ableitung an der Stelle $ [mm] x_0 [/mm] $ > eine gerade Ableitung ist, dann hat die Funktion $ [mm] f(x_0) [/mm] $ an dieser Stelle ein Extremum. "
Weil die Aussage bringt ja auch nichts bei gleichen Vorzeichen:
> Die Stelle $ [mm] x_0 [/mm] $ ist ein lokales Maximum wenn f'(x) positiv für alle $ [mm] xx_0 [/mm] $ ist in einer Umgebung um $ [mm] x_0. [/mm] $
Für dieses Bsp steht mir das erste Semester Analysis zur Verfügung. Konkret um ein Buchtitel zu nennen Forster bis einschließlich 16 Kapitel, von dort kommt die Aufgabe auch!
-) Definition Max/Min
-) Notwendige Bedingung für lokale Extrema f'(x)=0
-) Theorem von Rolle
-) Mittelwertsatz
-) Lipschitzstetig
-) Hinreichende Bedingung für Extrema f'(x)=0 und f''(x)>0(f''(x)<0)
-) Konvex/Konkav (Zusammenhang mit zweite Ableitung)
-) allgeimeiner Mittelwertsatz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 11.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 09.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
