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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extrema und Sattelpunkte
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Extrema und Sattelpunkte: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Sa 14.05.2011
Autor: Matrix22

Aufgabe
Finden Sie jeweils alle Extrema und Sattelpunkte der folgenden Funktionen:
[mm] f(x,y)=x^2-xy+y^2+9x-6y+17 [/mm]

Hallo, ich weiss leide nicht wie ich die Extrema bestimmen soll und wo in welchem Punkt ist ja nicht angegeben.Nimmt man da (0,0)?

fx=2x-y+9
fxx=2
fy=-x+2y-6
fyy=2
fxy=-2x
fyx=-2y

Wie gehe ich jetz weiter vor nach dem ich die Ableitungen bestimmt habe die Punkte sind ja nicht angegeben?
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen.
Danke

        
Bezug
Extrema und Sattelpunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Sa 14.05.2011
Autor: fencheltee


> Finden Sie jeweils alle Extrema und Sattelpunkte der
> folgenden Funktionen:
>  [mm]f(x,y)=x^2-xy+y^2+9x-6y+17[/mm]
>  Hallo, ich weiss leide nicht wie ich die Extrema bestimmen
> soll und wo in welchem Punkt ist ja nicht angegeben.Nimmt
> man da (0,0)?
>  
> fx=2x-y+9
>  fxx=2
>  fy=-x+2y-6
>  fyy=2
>  fxy=-2x
>  fyx=-2y
>  
> Wie gehe ich jetz weiter vor nach dem ich die Ableitungen
> bestimmt habe die Punkte sind ja nicht angegeben?

jetzt sucht man erstmal die kritischen punkte.
dazu musst du [mm] f_x=0 [/mm] und [mm] f_y=0 [/mm] setzen und aus den beiden gleichungen die unbekannten x und y bestimmen

anschließend mit der hesse matrix auf extrema prüfen

>  Kann mir jemand auf die Sprünge helfen.
>  Danke

gruß tee

Bezug
                
Bezug
Extrema und Sattelpunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Sa 14.05.2011
Autor: Matrix22

Ok.

also fx=0     2x-y+9=0 nach Umformung; Y=-2/9x

       fy=0     -x+2y-6=0nach Umformung;x=-54/13

Muss icj jetz die Werte in die 2.Ableitung einsetzen ich befürchte das die Umformung schon falsch ist.
Kannste mir bitte helfen.

Bezug
                        
Bezug
Extrema und Sattelpunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 Sa 14.05.2011
Autor: fencheltee


> Ok.
>  
> also fx=0     2x-y+9=0 nach Umformung; Y=-2/9x

oh weia.... da schaust du bitte noch mal drüber


>  
> fy=0     -x+2y-6=0nach Umformung;x=-54/13

nochmal nachrechnen, es sind glatte zahlen die herauskommen

>  
> Muss icj jetz die Werte in die 2.Ableitung einsetzen ich
> befürchte das die Umformung schon falsch ist.
>  Kannste mir bitte helfen.

gruß tee

Bezug
                        
Bezug
Extrema und Sattelpunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:08 Sa 14.05.2011
Autor: abakus


> Ok.
>  
> also fx=0     2x-y+9=0 nach Umformung; Y=-2/9x
>  
> fy=0     -x+2y-6=0nach Umformung;x=-54/13
>  
> Muss icj jetz die Werte in die 2.Ableitung einsetzen ich
> befürchte das die Umformung schon falsch ist.

Richtig befürchtet.
Bitte gib mal den einen (es ist wirklich nur einer!) Rechenbefehl an, der aus
2x-y+9=0
die Gleichung ...=y macht.
Gruß Abakus

>  Kannste mir bitte helfen.


Bezug
                                
Bezug
Extrema und Sattelpunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:58 So 15.05.2011
Autor: Matrix22

Ok für y habe ich den wert 1 rausbekommen und für x = - 4.
Wen ich die Werte in meinem fx oder fy einsetze bekomme ich null was sagt mir das?
Mein fxx und fyy sind 2 und mein fxy=fyx = -1 wie gehe ich jetz weiter welcher werte muss ich für die Hesse Matrix verwenden.
Komme nicht weiter.
Gruss

Bezug
                                        
Bezug
Extrema und Sattelpunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:12 So 15.05.2011
Autor: fred97


> Ok für y habe ich den wert 1 rausbekommen und für x = -
> 4.
>  Wen ich die Werte in meinem fx oder fy einsetze bekomme
> ich null was sagt mir das?


(-4,1) ist ein extremwertverdächtiger Punkt.


>  Mein fxx und fyy sind 2 und mein fxy=fyx = -1 wie gehe ich
> jetz weiter welcher werte muss ich für die Hesse Matrix
> verwenden.

Untersuche die Hesse-Matrix auf Definitheit.

FRED

>  Komme nicht weiter.
>  Gruss


Bezug
                                                
Bezug
Extrema und Sattelpunkte: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:16 So 15.05.2011
Autor: Matrix22

Kannste mir auch sagen was ich mit den Punkten ( -4, 1 ) machen soll

da fxx, fyy = 2

Ist der erste eintrag positiv dann liegt da ein Minimum vor aber was ist mein
fxy? und was mache ich mit ( -4, 1)?????



Bezug
                                                        
Bezug
Extrema und Sattelpunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 So 15.05.2011
Autor: Matrix22

Sorry mein fxy = -1

Die det= 3
also positiv definit, Minimum.
Ich verstehe einfach nicht meine Punkte( -4, 1) ich kann sie doch nirgendwo einsetzen?
Kann mir da jemand helfen.

Bezug
                                                                
Bezug
Extrema und Sattelpunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 So 15.05.2011
Autor: abakus


> Sorry mein fxy = -1
>  
> Die det= 3
>   also positiv definit, Minimum.
>  Ich verstehe einfach nicht meine Punkte( -4, 1) ich kann
> sie doch nirgendwo einsetzen?

Das ist auch nicht erforderlich.
Du weißt, dass im Punkt (-4;1) irgendwas besonderes los ist.
Welche Besonderheit dies konkret ist, verrät dir die Auswertung der Hesse-Matrix. Und die sagt dir (ich habe nicht nachgerechnet): Minimum.

Vielleicht verunsichtert dich, dass die zweiten Ableitungen konstante Werte ergeben (die also nicht nur im Punkt (-4;1), sondern überall gelten).

Wenn die zweite Ableitung komplizierter wäre und noch x oder y enthalten würde, müsstest du da tatsächlich noch was einsetzen.
Gruß Abakus

>  Kann mir da jemand helfen.


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