Extrema unter NB < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Mi 21.11.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei A = [mm] (a_{ij}) \in M_{n \times n } (\IR) [/mm] eine symmetrische n x n Matrix und F : [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR [/mm] die zugehörige qudratische Form, dh.
F(x) = [mm] \sum_{i,j} a_{ij} x_i x_j
[/mm]
Wir wolle die Extrema von F unter der Nebenbedingung ||x||=1 untersuchen |
Ich habe die Lösung vor mir, verstehe aber eine Sache nicht:
[mm] \frac{\partial F}{\oartial x_k} [/mm] (x) = [mm] \frac{\partial}{\partial x_k} \sum_{i,j} a_{ij} x_i x_j [/mm] = [mm] \sum_{i,j} a_{ij} \frac{\partial x_i}{\partial x_k} x_j [/mm] + [mm] \sum_{i,j} a_{ij} x_i \frac{\partial x_j}{\partial x_k}= \sum_{j} a_{kj} x_j [/mm] + [mm] \sum_{i} a_{ik} x_i
[/mm]
Ich verstehe den letzten und vorletzten Schritt nicht.
Vlt kann das wäre für mich aufklären.Würde mich freuen.
LG
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Hallo quasimo,
> Sei A = [mm](a_{ij}) \in M_{n \times n } (\IR)[/mm] eine
> symmetrische n x n Matrix und F : [mm]\IR^n[/mm] -> [mm]\IR[/mm] die
> zugehörige qudratische Form, dh.
> F(x) = [mm]\sum_{i,j} a_{ij} x_i x_j[/mm]
> Wir wolle die Extrema
> von F unter der Nebenbedingung ||x||=1 untersuchen
> Ich habe die Lösung vor mir, verstehe aber eine Sache
> nicht:
> [mm]\frac{\partial F}{\oartial x_k}[/mm] (x) =
> [mm]\frac{\partial}{\partial x_k} \sum_{i,j} a_{ij} x_i x_j[/mm] =
> [mm]\sum_{i,j} a_{ij} \frac{\partial x_i}{\partial x_k} x_j[/mm] +
> [mm]\sum_{i,j} a_{ij} x_i \frac{\partial x_j}{\partial x_k}= \sum_{j} a_{kj} x_j[/mm]
> + [mm]\sum_{i} a_{ik} x_i[/mm]
> Ich verstehe den letzten und
> vorletzten Schritt nicht.
Beim vorletzten Schritt wurde die Produktregel angewendet.
Im letzten Schritt wurde das aus dem vorletzen Schritt ausgerechnet.
Ausgerechnet in dem Sinne, daß die Ableitung von
[mm]x_{i}[/mm] nach [mm]x_{k}[/mm] bzw.
[mm]x_{j}[/mm] nach [mm]x_{k}[/mm] angegeben wurde.
> Vlt kann das wäre für mich aufklären.Würde mich
> freuen.
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Do 22.11.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo
Gut, dass die Produktregel verwendet wird verstehe ich.- Aber der SChritt:
$ [mm] \sum_{i,j} a_{ij} \frac{\partial x_i}{\partial x_k} x_j [/mm] $ + $ [mm] \sum_{i,j} a_{ij} x_i \frac{\partial x_j}{\partial x_k}= \sum_{j} a_{kj} x_j [/mm] $ + $ [mm] \sum_{i} a_{ik} x_i [/mm] $
ist mir leider noch immer nicht klar. Würde mich freuen wenn du da nochmal eingehst.
Ich denke mir nämlich dass die Summe immer 0 ist außer wenn ich bei i=k angelangt bin. Wieso steht also noch immer eine Summe da?
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Hallo quasimo,
> Hallo
> Gut, dass die Produktregel verwendet wird verstehe ich.-
> Aber der SChritt:
> [mm]\sum_{i,j} a_{ij} \frac{\partial x_i}{\partial x_k} x_j[/mm] +
> [mm]\sum_{i,j} a_{ij} x_i \frac{\partial x_j}{\partial x_k}= \sum_{j} a_{kj} x_j[/mm]
> + [mm]\sum_{i} a_{ik} x_i[/mm]
> ist mir leider noch immer nicht
> klar. Würde mich freuen wenn du da nochmal eingehst.
> Ich denke mir nämlich dass die Summe immer 0 ist außer
> wenn ich bei i=k angelangt bin. Wieso steht also noch immer
> eine Summe da?
Es ist doch
[mm]\bruch{\partial x_{i}}{\partial x_{k}}=\left\{\begin{matrix}1 & ,i =k \\ 0 & ,i \not=k\end{matrix}\right[/mm]
Damit ist i fest und es folgt:
[mm]\sum_{i,j} a_{ij} \frac{\partial x_i}{\partial x_k} x_j=\sum_{j} a_{kj} \frac{\partial x_k}{\partial x_k} x_j=\sum_{j} a_{kj} x_j[/mm]
Gruss
MathePower
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