Extrema unter Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm]g: \IR^2 \to \IR, g(x,y) = 3xy.[/mm] Untersuchen Sie g auf Sattelpunkte sowie lokale und globale Extremwerte.
PLUS:
Es sei [mm]M=\left\{(x,y) \in \IR^2 : x^2 + y^2 \le 2 \right\}.[/mm] Untersuchen Sie g eingeschränkt auf M auf Extremwerte. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo
Diese Aufgabe hab ich eigentlich schon fast fertig gelöst; der erste Teil ist kein Problem, da kriegt man einen Sattelpunkt in (0,0). Dann soll man g eingeschränkt auf M untersuchen. Dort kann man den Rand und das Innere von M seperat untersuchen; für den Rand kriegt man die Nebenbedingung [mm] h(x)=x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] -2 = 0. Dann sollte ein [mm] \lambda [/mm] existieren mit gradg(x) = [mm] \lambda [/mm] gradh(x). Also: (3x,3y) = [mm] \lambda [/mm] (2x,2y). Daraus folgt sofort [mm] \lambda [/mm] = 3/2. Aber da komm ich nicht weiter; wenn man den Lagrange-Operator hat, sagt der ja noch nichts über ein Extremum aus. Wie kommt man da drauf?
Danke
Björn
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> Es sei [mm]g: \IR^2 \to \IR, g(x,y) = 3xy.[/mm] Untersuchen Sie g
> auf Sattelpunkte sowie lokale und globale Extremwerte.
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> PLUS:
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> Es sei [mm]M=\left\{(x,y) \in \IR^2 : x^2 + y^2 \le 2 \right\}.[/mm]
> Untersuchen Sie g eingeschränkt auf M auf Extremwerte.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo
>
> Diese Aufgabe hab ich eigentlich schon fast fertig gelöst;
> der erste Teil ist kein Problem, da kriegt man einen
> Sattelpunkt in (0,0). Dann soll man g eingeschränkt auf M
> untersuchen. Dort kann man den Rand und das Innere von M
> seperat untersuchen;
Hallo,
mit dem Inneren bist Du ja schon so gut wie fertig, Du mußt nur schauen, ob der von Dir ermittelte Sattelpunkt im Inneren des fraglichen Bereiches liegt.
> für den Rand kriegt man die
> Nebenbedingung [mm]h(x)=x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] -2 = 0. Dann sollte ein
> [mm]\lambda[/mm] existieren mit gradg(x) = [mm]\lambda[/mm] gradh(x). Also:
> (3x,3y) = [mm]\lambda[/mm] (2x,2y).
Du solltest zunächst Deinen grad g(x,y) nochmals überprüfen.
Gruß v. Angela
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Ups, stimmt. grad g sollte (3y,3x) sein. Dann gilt: (3y,3x) = [mm] \lambda [/mm] (2x,2y), also 3y = [mm] \lambda [/mm] 2x und 3x = [mm] \lambda [/mm] 2y. Falls [mm] \lambda \not= [/mm] 0, kann diese Gleichung nur gelten, wenn (x,y) = (0,0). Falls [mm] \lambda [/mm] = 0 folgt dasselbe. Jetzt weiss ich, dass in (0,0) unter der Nebenbedingung ein Extremum existiert; da [mm] \{x^2+y^2-2 = 0\} [/mm] abgeschlossen und beschränkt ist, ist die Menge kompakt und die Funktion g eingeschränkt auf [mm] \{x^2+y^2-2 = 0\} [/mm] nimmt ihr Maximum oder Minimum an. Stimmt das soweit? Ich zweifle ein wenig, denn (0,0) erfüllt die Nebenbedingung [mm] x^2+y^2-2 [/mm] = 0 ja gar nicht! (0,0), also der Sattelpunkt liegt sicher im Innern von M, das ist klar; aber mit der Nebenbedingung möchte ich ja rausfinden, ob auf dem Rand von M weitere Extrema existieren.
Gruss
Björn
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> Ups, stimmt. grad g sollte (3y,3x) sein. Dann gilt: (3y,3x)
> = [mm]\lambda[/mm] (2x,2y),
und zusätzlich die Nebenbedingung [mm] 0=2-x^2-y^2.
[/mm]
> also 3y = [mm]\lambda[/mm] 2x und 3x = [mm]\lambda[/mm]
> 2y. Falls [mm]\lambda \not=[/mm] 0, kann diese Gleichung nur gelten,
> wenn (x,y) = (0,0).Falls [mm]\lambda[/mm] = 0 folgt dasselbe.
Wie rechnest Du das? Kannst Du das mal vorrechnen?
Oder besser: ich sage Dir vorher, wie Du es geschickt machst.
Also...
Berechne aus der ersten Gleichung Dein [mm] \lambda.
[/mm]
Setze dies in die zweite ein. Hier löst Du nun nach y auf.
Damit gehst Du in die Nebenbedingung und errechnest nun Dein x.
Zurückgehend bekommst Du das passende y.
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Unabhängig von Deiner sonstigen Rechnung: da (0,0) die Nebenbedingung nicht erfüllt, weil er gar nicht auf dem Rand des betrachteten Gebietes liegt (denn DEN untersuchen wir ja gerade) ist (0,0) natürlich keine Lösung der gerade im Moment betrachteten Aufgabe.
Gruß v. Angela
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Ach so geht das. Also bekommt aus der ersten Gleichung [mm] \lambda [/mm] = 3y/2x und damit mit der 2. Gleichung [mm] x^2=y^2; [/mm] Wurzel ziehen ergibt |x| = |y|. Mit der Nebenbedingung zusammen ergibt das: x = [mm] \pm1 [/mm] und y = [mm] \pm1. [/mm] Das heisst, die Punkte (1,1), (1,-1), (-1,1) und (-1,-1) erfüllen die Nebenbedingung. Wie finde ich jetzt heraus, ob dies Minima oder Maxima sind?
--
> Wie rechnest Du das? Kannst Du das mal vorrechnen?
Ich hab mir folgendes überlegt: falls [mm] \lambda [/mm] = 0, ist 3x = 0 und 3y = 0, also x=y=0. Falls [mm] \lambda [/mm] ungleich 0, gilt x = [mm] 3/(2\lambda) [/mm] y und y = [mm] 3/(2\lambda) [/mm] x (bzw. aus der 2. Gleichung folgt x = [mm] (2\lambda)/3 [/mm] y). Das ist nur erfüllbar, falls x=y=0.
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> > Wie rechnest Du das? Kannst Du das mal vorrechnen?
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> Ich hab mir folgendes überlegt: falls [mm]\lambda[/mm] = 0, ist 3x =
> 0 und 3y = 0, also x=y=0.
und dieser Punkt erfüllt nicht die dritte Gleichung.
>Falls [mm]\lambda[/mm] ungleich 0, gilt x
> = [mm]3/(2\lambda)[/mm] y und y = [mm]3/(2\lambda)[/mm] x (bzw. aus der 2.
> Gleichung folgt x = [mm](2\lambda)/3[/mm] y). Das ist nur erfüllbar,
> falls x=y=0.
Das stimmt doch gar nicht. Wie kommst Du darauf? Was hast Du hierfür gerechnet? Rechne das mal vor!
> Das heisst, die Punkte (1,1), (1,-1), (-1,1) und (-1,-1) erfüllen die Nebenbedingung
>Wie finde ich jetzt heraus, ob dies Minima
> oder Maxima sind?
Du könntest Dir die entsprechenden Funktionswerte anschauen.
Gruß v. Angela
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Ach, stimmt; mit [mm] \lambda [/mm] = [mm] \pm \frac{3}{2} [/mm] löst sich das Ganze nach y = x bzw. -y = x auf. Genau hinschauen sollte man halt von Beginn an...
OK, die Extremalstellen eingesetzt in die ursprüngliche Funktion g:
g(1,1) = g(-1,-1) = 3; g(-1,1) = g(1,-1) = -3. Das heisst, unter der Nebenbedingung sind (1,1) und (-1,-1) lokale Maxima, (-1,1) und (1,-1) lokale Minima. Zusätzlich liegt der Sattelpunkt von g noch in M.
Stimmt das so?
Gruss
Björn
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Sa 28.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ja genau, denn wegen der Kompaktheit von M exestieren Minima und Maxima. Da nur zwei Werte in Frage kommen, liegen in diesen auch wirklich Extrema vor.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Sa 28.07.2007 | | Autor: | polar_baer |
OK, danke beiden fürs Helfen!
Gruss
Björn
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