Extrema unter Nebenbedingungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Do 20.03.2014 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | | Verlinktes Beispiel von Wikipedia |
Hallo,
ich habe eine kurze Verständnisfrage zum ersten Beispiel der Methode von Lagrange bei Wikipedia.
Link: ![[]](/images/popup.gif) Klick
Ich kann den Ausführungen dort folgen, bis es darum geht die kritischen Punkte zu berechnen. Wo genau muss [mm] \lambda [/mm] eingesetzt werden, um die Punkte zu erhalten?
Die zweite Frage: Funktioniert die Methoede von Lagrange immer, oder gibt es Fälle, wo man auf das zweite Beispiel (Beispiel mit Nebenbedingung mit verschwindenden Gradienten) zurückgreifen muss?
Dritte und letzte Frage: Zurück zu Lagrange: Das Vorgehen ist mir soweit klar, aber sind die Punkte, die man ausrechnet automatisch globale Extrempunkte? Oder muss man dort noch eine hinreichende Bedingung prüfen?
Vielen Dank vorab für eure Mühe
poeddl
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> Hallo,
Hi
> ich habe eine kurze Verständnisfrage zum ersten Beispiel
> der Methode von Lagrange bei Wikipedia.
> Link:
> Klick
>
> Ich kann den Ausführungen dort folgen, bis es darum geht
> die kritischen Punkte zu berechnen. Wo genau muss [mm]\lambda[/mm]
> eingesetzt werden, um die Punkte zu erhalten?
Du erhälst ein Gleichungssystem (wohlmögich sogar nichtlinear) und durch dieses Gleichungssystem ermittelst du auch die duale Variable [mm] $\lambda$.
[/mm]
>
> Die zweite Frage: Funktioniert die Methoede von Lagrange
> immer, oder gibt es Fälle, wo man auf das zweite Beispiel
> (Beispiel mit Nebenbedingung mit verschwindenden
> Gradienten) zurückgreifen muss?
Welche Anforderungen stellst du an die Funktionen. Bei einer nichtstetigen Funktion wird es schwierig.
An sich ist der Ansatz mit den Lagrange-Multiplikatoren recht allgemein. Man sucht eben die Stelle an der sich die Höhenlinien der Zielfunktion mit der Nebenbedingung berühren. Die Frage ist doch viel eher mit welchen Aufwand man das resultieren Gleichungssystem lösen kann.
>
> Dritte und letzte Frage: Zurück zu Lagrange: Das Vorgehen
> ist mir soweit klar, aber sind die Punkte, die man
> ausrechnet automatisch globale Extrempunkte? Oder muss man
> dort noch eine hinreichende Bedingung prüfen?
Welche Anfordungen stellst du an die Funktion. Davon hängt es doch ab.
Die Antwort ist i.A.: nicht zwangsläufig. Es gibt den Satz von Karush-Kuhn-Tucker (KKT). Dieser gibt die Fälle an, für die die KKT-Bedingungen notwendig und hinreichen sind. Wie möchtest du ein globales Minimum finden, wenn du eine nicht konvexe/konkave Funktion hast.
Gegenbeispiel-Idee:
Als Nebenbedingung kann man doch immer etwas, wie $1=1$ künstlich hinzufügen und den Ansatz mit den Langrange-Multiplikatoren nutzen.
>
> Vielen Dank vorab für eure Mühe
> poeddl
Vielleicht hilft dir auch meine andere Erklärung (https://matheraum.de/read?i=1005196) weiter.
gruß
wieschoo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Do 20.03.2014 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort, deinen Link werde ich mir gleich mal durchlesen und mich ggf. melden.
Eine Frage habe ich jedoch bereits bzgl. deiner Äußerung "[...]die duale Variable [mm] \lambda[...]
[/mm]
Kann ich daraus folgern, dass [mm] \lambda [/mm] immer als [mm] \pm \lambda [/mm] auftaucht?
Vielen Dank und noch einen schönen sonnigen Donnerstag.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Do 20.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> vielen Dank für deine ausführliche Antwort, deinen Link
> werde ich mir gleich mal durchlesen und mich ggf. melden.
>
> Eine Frage habe ich jedoch bereits bzgl. deiner Äußerung
> "[...]die duale Variable [mm]\lambda[...][/mm]
>
> Kann ich daraus folgern, dass [mm]\lambda[/mm] immer als [mm]\pm \lambda[/mm]
> auftaucht?
Nein. Wie kommst Du auf sowas ??
>
> Vielen Dank und noch einen schönen sonnigen Donnerstag.
Ebenso
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Do 20.03.2014 | | Autor: | poeddl |
Die Aussage "[...]die duale Variable [mm] \lambda[...]" [/mm] hat mich irritiert.
Aber ich habe hier gerade ein solches Gleichungssystem gelöst und auch nur eine Lösung für [mm] \lambda [/mm] rausbekommen. War ich wohl etwas voreilig.
Vielen Dank erstmal!
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