Extrema unter Nebenbedingungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Mi 31.05.2006 | | Autor: | sclossa |
| Aufgabe | Extramwerte mit Nebenbedingungen (Lagrange-Multiplikatoren)
gegeben: f(x,y) = cos(x²+y²) auf Einheitskreisscheibe
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gegeben ist ja f(x,y) = [mm] cos(x^2+y^2) [/mm] mit Nebenbedingung
E = {(x,y) [mm] \varepsilon \IR^2 [/mm] | [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1}
=> g(x) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - 1
zum einen muss gradf(x,y) = 0 gelten aber die NB muss ebenfalls berücksichtigt werden. Somit folgt:
gradf(x,y) und gradg(x,y) müssen linear abhängig sein, d.h.
gradf(x,y) = [mm] \lambda [/mm] gradg(x,y)
[mm] \gdw [/mm] ( -2x * [mm] sin(x^2+y^2) [/mm] , -2y * [mm] sin(x^2+y^2) [/mm] ) = [mm] \lambda [/mm] ( 2x , 2y )
Und hier hab ich schon leichte Probleme...
erster Fall: [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 0 und y = 0 [mm] \otimes [/mm] zu [mm] x^2+y^2 [/mm] = 1
zweiter Fall: [mm] \lambda \not= [/mm] 0
wie geh ich jetzt weiter vor...kann mir jemand das einmal kurz vorrechnen?
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Hallo sclossa,
Wer sagt Dir das Du diese Gleichung unbedingt mit Lagrange lösen mußt?
> gradf(x,y) = [mm]\lambda[/mm] gradg(x,y)
Hier fehlt noch ein Minus
gradf(x,y) = - [mm]\lambda[/mm] gradg(x,y)
Außerdem muß noch g(x)=0 gelten ansonsten hast Du 2 Gleichungen für 3 Unbekannte. Das funktioniert nicht.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Do 01.06.2006 | | Autor: | sclossa |
Extramwerte mit Nebenbedingungen
(Lagrange-Multiplikatoren)
gegeben: f(x,y) = cos(x²+y²) auf Einheitskreisscheibe
gegeben ist ja f(x,y) = [mm]cos(x^2+y^2)[/mm] mit Nebenbedingung
E = {(x,y) [mm] \varepsilon \IR^2 [/mm] | [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1}
=> g(x) = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] - 1
zum einen muss gradf(x,y) = 0 gelten aber die NB muss
ebenfalls berücksichtigt werden.
Somit folgt:
gradf(x,y) und gradg(x,y) müssen linear abhängig sein, d.h.
gradf(x,y) = - [mm] \lambda [/mm] gradg(x,y)
[mm] \gdw [/mm] ( -2x * [mm] sin(x^2+y^2) [/mm] , -2y * [mm] sin(x^2+y^2) [/mm] ) = - [mm] \lambda [/mm] ( 2x , 2y )
erster Fall: [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 0 und y = 0 [mm] \otimes [/mm] zu [mm] x^2+y^2 [/mm] = 1
zweiter Fall: [mm][mm] \lambda \not= [/mm] 0
I -2x * [mm] sin(x^2+y^2) [/mm] = - [mm] \lambda [/mm] 2x
II -2y * [mm] sin(x^2+y^2) [/mm] = - [mm] \lambda [/mm] 2y
III g(x) = 0
[mm] \gdw [/mm] ....
Irgendwie komm ich überhaupt nicht richtig weiter...
Ich erhalte dann nur unsinn... wo liegt der fehler?
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Hallo sclossa,
> gradf(x,y) = - [mm]\lambda[/mm] gradg(x,y)
> [mm]\gdw[/mm] ( -2x * [mm]sin(x^2+y^2)[/mm] , -2y * [mm]sin(x^2+y^2)[/mm] ) = -
> [mm]\lambda[/mm] ( 2x , 2y )
>
> erster Fall: [mm]\lambda[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = 0 und y = 0 [mm]\otimes[/mm] zu [mm]x^2+y^2[/mm] = 1
>
> zweiter Fall: [mm][mm]\lambda \not=[/mm] 0
Eine Unterscheidung gleich 0 ungleich null macht hauptsächlich dann Sinn wenn man dann durch [mm] \lambda [/mm] teilen will. -Weil man ja nicht teilen darf falls es gleich null wäre.
I -2x * [mm]sin(x^2+y^2)[/mm] = - [mm]\lambda[/mm] 2x
II -2y * [mm]sin(x^2+y^2)[/mm] = - [mm]\lambda[/mm] 2y
III g(x) = 0
[mm]\gdw[/mm] ....
> Irgendwie komm ich überhaupt nicht richtig weiter...
> Ich erhalte dann nur unsinn... wo liegt der fehler?
Bis dahin seh ich keinen Fehler. Wie hast Du denn weiter gerechnet? (x=0, [mm] x\not=0 [/mm] )?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Fr 02.06.2006 | | Autor: | sclossa |
Also für [mm] \lambda [/mm] = 0 erhalte ich nur Widersprüche und
für [mm] \lambda \not= [/mm] 0 komm ich nicht wirklich weiter, denn da erhalte ich
I [mm] \lambda [/mm] = [mm] sin(x^2+y^2)
[/mm]
II [mm] \lambda [/mm] = [mm] sin(x^2+y^2)
[/mm]
III [mm] x^2+y^2 [/mm] = 1
und somit also [mm] \lamda [/mm] = sin(1) ?
Aber was soll mir das in dem Moment bringen...?
Angeblich ist diese Aufgabe so in einer mündlichen Prüfung gestellt worden... den Ansatz bekomm ich ja auch hin, nur wirklich weiter komm ich bei dieser Aufgabe dann nicht - andere Aufgaben mit Lagrange funktionieren aber...
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Hallo sclossa,
> Also für [mm]\lambda[/mm] = 0 erhalte ich nur Widersprüche und
> für [mm]\lambda \not=[/mm] 0 komm ich nicht wirklich weiter, denn
> da erhalte ich
> I [mm]\lambda[/mm] = [mm]sin(x^2+y^2)[/mm]
> II [mm]\lambda[/mm] = [mm]sin(x^2+y^2)[/mm]
> III [mm]x^2+y^2[/mm] = 1
für x,y ungleich 0 erhälst Du das.
> und somit also [mm]\lambda[/mm] = sin(1) ?
> Aber was soll mir das in dem Moment bringen...?
Du hast [mm] \lambda [/mm] ausgerechnet und könntest damit weiterrechnen. Wenn Du zusätzlich die Nebenbedingung in I und II einsetzt wirst Du erkennen: Das gilt ja egal welche x,y ich einsetze. D.h. die einzig relevante Gleichung ist (III)
> Angeblich ist diese Aufgabe so in einer mündlichen Prüfung
> gestellt worden... den Ansatz bekomm ich ja auch hin, nur
> wirklich weiter komm ich bei dieser Aufgabe dann nicht -
> andere Aufgaben mit Lagrange funktionieren aber...
Der Sinn war dann vermutlich zu schauen ob der Prüfling weiß was man zuerst bei solchen Aufgaben macht nämlich schauen ob man die Nebenbedingung einsetzen kann und damit das Problem auf eine einfache Extremwertaufgabe zu reduzieren.
viele Grüße
mathemadeunn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Fr 02.06.2006 | | Autor: | sclossa |
Also irgendwie ist mir das immernoch nicht ganz klar...
Wir [mm] \lambda \not= [/mm] 0 und x [mm] \not= [/mm] 0 und y [mm] \not= [/mm] 0 erhalte ich ja
I sin(x²+y²) = [mm] \lambda
[/mm]
II sin(x²+y²) = [mm] \lamda
[/mm]
III x² + y² = 1
und somit ja [mm] \lambda [/mm] = sin(1)
Was soll mir das nochmal sagen?
das solange x²+y² = 1 erfüllt ist, die obigen zwei Gleichungen ebenfalls erfüllt sind? Somit müsste ich also nur mit der Gleichung
x²+y²= 1 weiterarbeiten? Aber was sind denn dann meine Extrema???
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Hallo sclossa,
> Also irgendwie ist mir das immernoch nicht ganz klar...
> Wir [mm]\lambda \not=[/mm] 0 und x [mm]\not=[/mm] 0 und y [mm]\not=[/mm] 0 erhalte
> ich ja
>
> I sin(x²+y²) = [mm]\lambda[/mm]
> II sin(x²+y²) = [mm]\lamda[/mm]
> III x² + y² = 1
> und somit ja [mm]\lambda[/mm] = sin(1)
> Was soll mir das nochmal sagen?
> das solange x²+y² = 1 erfüllt ist, die obigen zwei
> Gleichungen ebenfalls erfüllt sind? Somit müsste ich also
> nur mit der Gleichung
> x²+y²= 1 weiterarbeiten?
Genau. und wenn Du nochmal "auf Anfang" gehst und die Nebenbedingung direkt in die Funktion einsetzt verstehst du dann auch wieso das rauskommen muß.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Fr 02.06.2006 | | Autor: | sclossa |
Ok, wenn ich x²+y² = 1 in die Funktion einsetze erhalte ich cos(1) ?
Ich seh aber immer noch nicht welche Extremwerte sich dadurch ergeben sollen?
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Weißt du denn, wie die Funktion aussieht? Quasi wie Wellen um einen ins Wasser geworfenen Stein, jedoch steigt die Wellenzahl mit zunemendem Abstand quadratisch an.
Und wenn du jetzt auf einem kreis um den Ursprung herum gehst, wie es die Nebenbedingung verlangt, hast du überall den gleichen Funktionswert, daher stimmt dein Ergebnis. Es gibt da kein Extremum drauf. Allerdings ist cos(1)=0,54, und nicht 0.
Wenn du sowas wie f= x+y hättest, was einer Ebene im 3D-Raum entspricht, und die gleiche Nebenbedingung, würdest du wohl auf [mm] $x=y=\wurzel{1/2}$ [/mm] und $x=y= - [mm] \wurzel{1/2}$ [/mm] kommen. Denn durch die Nebenbedingung würdest du dann auf einer Ellipse umherlaufen, und als Ergebnis den höchsten und niedrigsten Punkt erhalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Sa 03.06.2006 | | Autor: | sclossa |
Es gibt also ganz viele Punkte (x,y) mit x²+y² = 1 wie z.B. (0,1) und (1,0), die die drei Gleichungen erfüllen und den Funktionswert cos(1) = 0.54 annehmen und deshalb gibt es kein Extremum?
Das ist aber wirklich eine fiese Aufgabe für eine mündliche Prüfung...
Danke für deine Hilfe!
Lg Sclossa
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Hallo sclossa,
> Es gibt also ganz viele Punkte (x,y) mit x²+y² = 1 wie
> z.B. (0,1) und (1,0), die die drei Gleichungen erfüllen und
> den Funktionswert cos(1) = 0.54 annehmen und deshalb gibt
> es kein Extremum?
Ja, die Funktion ist auf dem Einheitskreis konstant.
viele Grüße
mathemaduenn
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