Extrema unter Nebenbedingungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Do 07.07.2011 | | Autor: | pAuLi88 |
| Aufgabe | | Untersuche die Höhenfunktion f(x,y,z)=z auf lokale und globale Extrema auf dem Paraboloid: [mm] \{(x,y,z)\in\IR^{3}:z=ax^{2}+by^{2}} (a,b\in\IR). [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich vermute, dass wenn a,b das gleiche Vorzeichen haben bei (0,0,0) ein Extremum liegt und sonst ein Sattelpunkt.
Aber ich weiß nicht wie man das korrekt begründet. Ich weiß :grad f(x,y,z)=(0,0,1) und von der Nebenbedingung: grad g(x,y,z)=(2ax,2by,-1).
Damit suche ich (x,y,z) mit (0,0,1)+(2ax,2by,-1)c=(0,0,0) (c [mm] \in\IR) \gdw [/mm] x=y=0 und c=1. Wie macht man dann weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Do 07.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ist das wörtlich die aufgabe?
vielleicht will da jemand testen, ob ihr vor dem Rechnen denkt? für a,b>0 ist [mm] z\ge0 [/mm] also ein lokales und globales min, für a,b<0 entsprechen ein glob. und lokales max, für verschiedene vorzeichen nimmt z jeden wert zw [mm] -\infty [/mm] und + infty an. also keine extrema mit Sattel bei 0 hast du recht, aber mit a und b verschiedene vorzeichen, nennt man das eigentlich nicht mehr Paraboloid.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Do 07.07.2011 | | Autor: | pAuLi88 |
Ja die Aufgabenstellung ist genau so.
Ich bin bloß verwirrt, wie ich begründe dass auch z=0. Einfach indem ich in meiner Nebenbedingung x=y=0 setze? Oder muss ich noch Hessematrizen bestimmen?
Stimmt es dass es keine singulären Lösungen (x,y,z) gibt da kein (x,y,z) (2ax,2by,-1)=(0, 0, 0) erfüllt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Do 07.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Aus Deinem Extremwertproblem mit Nebenbedingung wird durch
$g(x,y):= [mm] f(x,y,z)=z=ax^2+by^2$
[/mm]
ein Extremwertproblem ohne Nebenbedingung.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Do 07.07.2011 | | Autor: | pAuLi88 |
?? Aber wie begründe ich denn mathematisch sauber, dass ich ein lokales/globales Extremum bei (0,0,0) habe (Maximum wenn a,b<0; Minimum wenn a,b>0) (bzw keins wenn a*b<0)
Tut mir leid wenn`s etwas länger dauert, aber ich will das wirklich verstehen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Do 07.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] f(x,y)=ax^2+by^2
[/mm]
Fall 1: a,b >0. Dann ist doch f(x,y) [mm] \ge [/mm] 0=f(0,0) für jedes (x,y). Also hat f in (0,0) ein absolutes Minimum.
Fall 2: a,b<0. Das machst Du jetzt mal selber.
Fall 3: a=0 oder b=0. Auch das kannst Du selbst machen.
Fall 4: a>0 und b<0. Für x [mm] \ne [/mm] 0 ist [mm] f(x,0)=ax^2>0=f(0,0) [/mm] und [mm] f(0,x)=bx^2<0= [/mm] f(0,0) .
Man sieht also: f hat in (0,0) kein Extremum.
Fall 5: a<0, b>0 : selber machen !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Do 07.07.2011 | | Autor: | pAuLi88 |
Danke!
Nur noch eine Verständnisfrage: Wir suchen doch Extrema im [mm] \IR^{3}. [/mm] Aber die gefundenen globalen Extrema befinden sich im [mm] \IR^{2}.... [/mm] Ist das Extremum jetzt bei (0,0) oder (0,0,0) oder (0,0,z)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Do 07.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
da du einen Extrmwert von z suchst kiegter - so existent bei z=0 das ist aber auch der Punkt (0,0,0) im [mm] R^3 [/mm] bei dieser Frage.
gruss leduart
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