Extrema unter Nebenbedingungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo also ich habe folgende Aufgabe:
für welche a,b,c,d [mm]\in\IR^{4}[/mm] nimmt die Funktion [mm]f(a,b,c,d)=\frac{1}{ab^{2}c^{3}d^{4}[/mm] ein Min/Max an wobei zu beachten ist, dass a+4b-3c-d=2 ist.
Nun denn ein klassisches Beispiel für Lagrange Multiplikation.
ich bilde die Funktion
[mm]\Phi(a,b,c,d,\lambda)=\frac{1}{ab^{2}c^{3}d^{4}[/mm]+[mm]\lambda*(a+4b-3c-d-2)[/mm]
partielles differenzieren nach [mm]a,b,c,d,\lambda[/mm]
liefert uns :
[mm]\frac{d\Phi}{da}[/mm]=[mm]\frac{-1}{a^{2}b^{2}c^{3}d^{4}}[/mm][mm]+\lambda[/mm]
[mm]\frac{d\Phi}{db}[/mm]=[mm]\frac{-2}{ab^{3}c^{3}d^{4}}[/mm][mm]+4\lambda[/mm]
[mm]\frac{d\Phi}{dc}[/mm]=[mm]\frac{-3}{ab^{2}c^{4}d^{4}}[/mm][mm]-3\lambda[/mm]
[mm]\frac{d\Phi}{dd}[/mm]=[mm]\frac{-4}{ab^{2}c^{3}d^{5}}[/mm][mm]-\lambda[/mm]
[mm]\frac{d\Phi}{d\lambda}[/mm] a+4b-3c-d-2
Lösen des Gleichungssystems
also (es wird vorher natürlich jede Ableitung = 0 gesetzt und nach [mm]\lambda[/mm] aufgelöst)
[mm]\frac{d\Phi}{da}[/mm] = [mm]\frac{d\Phi}{db}[/mm]
[mm]\frac{d\Phi}{da}[/mm] = [mm]\frac{d\Phi}{dc}[/mm]
[mm]\frac{d\Phi}{da}[/mm] = [mm]\frac{d\Phi}{dd}[/mm]
liefert:
a = [mm]\frac{1}{5}[/mm]
b = [mm]\frac{1}{10}[/mm]
c = [mm]\frac{-1}{5}[/mm]
d = [mm]\frac{-4}{5}[/mm]
mit diesen Werten a,b,c,d wird ein Extremum angenommen.
Frage: Die Berechnung von [mm]\lambda[/mm] kann denke ich weggelassen werden ?
Fraglich ist nun noch ob es sich bei diesem Punkt um ein Minimum oder Maximum handelt.
Um das einzusehen wollen wir die Hesse Matrix der partiellen Abl. 2 Ordnung bilden und ihr Definitheitsverhalten betrachten (ich lasse dies aus, da es einfach nur ableiten und einsetzen der oben berechneten Werte in die Matrix ist).
falls det < 0 -> Max. falls det > 0 Min.
Fehlt euch da noch etwas oder wäre ausreichend argumentiert?
Gruß Thomas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Thomas_Aut,
> Hallo also ich habe folgende Aufgabe:
>
> für welche a,b,c,d [mm]\in\IR^{4}[/mm] nimmt die Funktion
> [mm]f(a,b,c,d)=\frac{1}{ab^{2}c^{3}d^{4}[/mm] ein Min/Max an wobei
> zu beachten ist, dass a+4b-3c-d=2 ist.
>
> Nun denn ein klassisches Beispiel für Lagrange
> Multiplikation.
>
> ich bilde die Funktion
>
> [mm]\Phi(a,b,c,d,\lambda)=\frac{1}{ab^{2}c^{3}d^{4}[/mm]+[mm]\lambda*(a+4b-3c-d-2)[/mm]
>
> partielles differenzieren nach [mm]a,b,c,d,\lambda[/mm]
>
> liefert uns :
> [mm]\frac{d\Phi}{da}[/mm]=[mm]\frac{-1}{a^{2}b^{2}c^{3}d^{4}}[/mm][mm]+\lambda[/mm]
>
> [mm]\frac{d\Phi}{db}[/mm]=[mm]\frac{-2}{ab^{3}c^{3}d^{4}}[/mm][mm]+4\lambda[/mm]
>
> [mm]\frac{d\Phi}{dc}[/mm]=[mm]\frac{-3}{ab^{2}c^{4}d^{4}}[/mm][mm]-3\lambda[/mm]
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> [mm]\frac{d\Phi}{dd}[/mm]=[mm]\frac{-4}{ab^{2}c^{3}d^{5}}[/mm][mm]-\lambda[/mm]
>
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> [mm]\frac{d\Phi}{d\lambda}[/mm] a+4b-3c-d-2
>
>
> Lösen des Gleichungssystems
>
> also (es wird vorher natürlich jede Ableitung = 0 gesetzt
> und nach [mm]\lambda[/mm] aufgelöst)
> [mm]\frac{d\Phi}{da}[/mm] = [mm]\frac{d\Phi}{db}[/mm]
> [mm]\frac{d\Phi}{da}[/mm] = [mm]\frac{d\Phi}{dc}[/mm]
> [mm]\frac{d\Phi}{da}[/mm] = [mm]\frac{d\Phi}{dd}[/mm]
>
> liefert:
>
> a = [mm]\frac{1}{5}[/mm]
> b = [mm]\frac{1}{10}[/mm]
> c = [mm]\frac{-1}{5}[/mm]
> d = [mm]\frac{-4}{5}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> mit diesen Werten a,b,c,d wird ein Extremum angenommen.
>
> Frage: Die Berechnung von [mm]\lambda[/mm] kann denke ich
> weggelassen werden ?
>
> Fraglich ist nun noch ob es sich bei diesem Punkt um ein
> Minimum oder Maximum handelt.
>
> Um das einzusehen wollen wir die Hesse Matrix der
Die Frage ist nur von welcher Funktion.
Löse dazu die Nebenbedingung nach einer Variablen auf
und Du bekommst dann eine Funktion von 3 Variablen.
Von dieser Funktion ist die Hesse-Matrix zu bilden.
> partiellen Abl. 2 Ordnung bilden und ihr
> Definitheitsverhalten betrachten (ich lasse dies aus, da es
> einfach nur ableiten und einsetzen der oben berechneten
> Werte in die Matrix ist).
>
> falls det < 0 -> Max. falls det > 0 Min.
>
> Fehlt euch da noch etwas oder wäre ausreichend
> argumentiert?
>
> Gruß Thomas
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Ich hätte die Hesse Matrix von f(a,b,c,d) gebildet ohne auflösen der Nebenbedingung.. Oder ist dies lediglich sinnvoll zwecks Berechnung der Determinante ( da sehr einfach von 3x3 Matrix)?
Gruß
Thomas
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Hallo Thomas_Aut,
> Ich hätte die Hesse Matrix von f(a,b,c,d) gebildet ohne
> auflösen der Nebenbedingung.. Oder ist dies lediglich
> sinnvoll zwecks Berechnung der Determinante ( da sehr
> einfach von 3x3 Matrix)?
>
Nein, die Nebenbedingung musst Du schon miteinbeziehen.
> Gruß
>
> Thomas
Gruss
MathePower
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo MathePower,
Ja tut mir leid - totaler Denkfehler!
äquivalent dazu könnte ich jedoch auch Lambda berechnen und dann
$ \Phi(a,b,c,d,\lambda)=\frac{1}{ab^{2}c^{3}d^{4} $+$ \lambda\cdot{}(a+4b-3c-d-2) $ nach a,b,c,d differenzieren.
Dies würde die Nebenbedingung miteinbeziehen da die Funktion [mm]\Phi[/mm] ja bereits von der Nebenbedingung abhängig ist, richtig?
Lg Thomas
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Hallo Thomas_Aut,
> Hallo MathePower,
>
> Ja tut mir leid - totaler Denkfehler!
>
> äquivalent dazu könnte ich jedoch auch Lambda berechnen
> und dann
>
> [mm]\Phi(a,b,c,d,\lambda)=\frac{1}{ab^{2}c^{3}d^{4} [/mm]+[mm] \lambda\cdot{}(a+4b-3c-d-2)[/mm]
> nach a,b,c,d differenzieren.
>
> Dies würde die Nebenbedingung miteinbeziehen da die
> Funktion [mm]\Phi[/mm] ja bereits von der Nebenbedingung abhängig
> ist, richtig?
>
Ich glaube nicht, dass das so funktioniert.
> Lg Thomas
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
Ok, also die Nebenbedinung a+4b-3c-d=2 nach einer Variablen auflösen , damit erhalte ich zb eine Funktion h(a,b,c). Von dieser Funktion dann die partiellen Ableitungen 2.Ordnung bilden und die kritischen Werte für a,b,c,d in die Hesse Matrix einsetzen ?
Gruß
Thomas
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Hallo Thomas_Aut,
> Hallo MathePower,
>
> Ok, also die Nebenbedinung a+4b-3c-d=2 nach einer Variablen
> auflösen , damit erhalte ich zb eine Funktion h(a,b,c).
> Von dieser Funktion dann die partiellen Ableitungen
> 2.Ordnung bilden und die kritischen Werte für a,b,c,d in
> die Hesse Matrix einsetzen ?
>
Das ist nicht ganz richtig.
Du hast dann eine Funktion f(a,b,c,h(a,b,c)).
Von dieser bildest Du die partiellen Ableitungen
2. Ordnung.
> Gruß
>
> Thomas
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
Also rein theoretisch:
Ich löse mein Gleichungssystem auf und bekomme Werte welche mir einen Punkt P(a1,b1,c1,d1) liefern. Dieser Punkt ist ein Kandidat für ein Extremum. Meinem Lagrange Multiplikator kann ich ebenfalls einen Wert zuweisen indem ich einfach a,b,c,d in irgendeine partielle Ableitung einsetze- diese haben ja alle eine Form ( nach umformen) von [mm]\lamda[/mm] = ... (da die Ableitungen 0 gesetzt sind und ich somit einfach nach Lamda umstellen kann)
nun hängt ja meine Funktion [mm]\Phi(a,b,c,d,\lamda)[/mm] von Variablen ab die unter Lösen des Gleichungssystems der partiellen Ableitungen = 0 den kritischen Punkt P(a1,b1,c1,d1,Lambda) ergeben haben, wobei Lamda ja bereits eindeutig bestimmt wurde für ein Extremum - andere Lambdas würden ja kein Extremum liefern.
Insofern muss die Nebenbedingung doch schon in das [mm]\Phi[/mm] eingegangen sein.. ist sie ja auch da [mm]\Phi[/mm] eine Zusammensetzung von f(a,b,c,d) und der Gleichung a+4b-3c-d = 2 (umgeformt auf g(a,b,c,d) = a+4b-3c-d-2) ist genau mit dem Lambda multipliziert welches unter Zusammensetzung mit g ein Extremum von Phi und somit von f bedingt oder?
LG
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Hallo Thomas_Aut,
> Hallo MathePower,
>
> Also rein theoretisch:
>
> Ich löse mein Gleichungssystem auf und bekomme Werte
> welche mir einen Punkt P(a1,b1,c1,d1) liefern. Dieser Punkt
> ist ein Kandidat für ein Extremum. Meinem Lagrange
> Multiplikator kann ich ebenfalls einen Wert zuweisen indem
> ich einfach a,b,c,d in irgendeine partielle Ableitung
> einsetze- diese haben ja alle eine Form ( nach umformen)
> von [mm]\lamda[/mm] = ... (da die Ableitungen 0 gesetzt sind und ich
> somit einfach nach Lamda umstellen kann)
> nun hängt ja meine Funktion [mm]\Phi(a,b,c,d,\lamda)[/mm] von
> Variablen ab die unter Lösen des Gleichungssystems der
> partiellen Ableitungen = 0 den kritischen Punkt
> P(a1,b1,c1,d1,Lambda) ergeben haben, wobei Lamda ja bereits
> eindeutig bestimmt wurde für ein Extremum - andere Lambdas
> würden ja kein Extremum liefern.
> Insofern muss die Nebenbedingung doch schon in das [mm]\Phi[/mm]
> eingegangen sein.. ist sie ja auch da [mm]\Phi[/mm] eine
> Zusammensetzung von f(a,b,c,d) und der Gleichung a+4b-3c-d
> = 2 (umgeformt auf g(a,b,c,d) = a+4b-3c-d-2) ist genau mit
> dem Lambda multipliziert welches unter Zusammensetzung mit
> g ein Extremum von Phi und somit von f bedingt oder?
>
Das Kriterium, das über die Art des Extremums entscheidet,
liegt mir nur für eine Funktion von 2 Variablen vor.
Sollen für die Funktion [mm]z=f\left(x,y\right)[/mm] die Extremstellen
bestimmt werden, die durch die Nebenbedingung [mm]\varphi\left(x,y\right)=0[/mm]
miteinander verknüpft sind, dann lautet das Kriterium,
das über die Art des Extremums entscheidet:
[mm]\Delta=\bruch{\partial^{2}\left(f+\lambda*\varphi\right)}{\partial x^{2}}*\left(\bruch{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}- 2 \bruch{\partial^{2}\left(f+\lambda*\varphi\right)}{\partial x \partial y}}\bruch{\partial \varphi}{\partial x}\bruch{\partial \varphi}{\partial y} +\bruch{\partial^{2}\left(f+\lambda*\varphi\right)}{\partial y^{2}}*\left(\bruch{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}[/mm]
[mm]\Delta < 0[/mm]:Maximum
[mm]\Delta > 0[/mm]:Minimum
> LG
>
>
Gruss
MathePower
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Bist du so nett und könntest kurz skizzieren wie du das in dem speziellen Fall machen würdest - ich stehe irgendwie auf der Leitung bzgl. des Kriteriums zum überprüfen?
Nebenb. : a+4b-3c-d=2 somit g(a,b,c,d) = a+4b-3c-d-2
f(a,b,c,d) = [mm]\frac{1}{ab^{2}c^{3}d^{4}}[/mm]
Ich habe ja schon die Stelle P, welche ein mögliches Extremum ist gefunden - es geht nur mehr um die Überprüfung ob sie Min/MAx ist.
Ich weiß nicht wie mich dein Kriterium weiterbringt vor allem was ist wenn ich die Nebenbedingung gar nicht auflösen kann?
Lg Thomas
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Hallo Thomas_Aut,
> Bist du so nett und könntest kurz skizzieren wie du das in
> dem speziellen Fall machen würdest - ich stehe irgendwie
> auf der Leitung bzgl. des Kriteriums zum überprüfen?
>
Inzwischen hab ich das anhand der Bedingung bei
einer Funktion von hzwei Variablen herausgefunden,
wie das allgemein gehen kann.
>
> Nebenb. : a+4b-3c-d=2 somit g(a,b,c,d) = a+4b-3c-d-2
> f(a,b,c,d) = [mm]\frac{1}{ab^{2}c^{3}d^{4}}[/mm]
>
Wir haben ja die Funktion
[mm]\Phi(a,b,c,d,\lambda)=f\left(a,b,c,d)+\lambda*g\left(a,b,c,d)[/mm]
Aus der Nebenbedingung [mm]g\left(a,b,c,d)=0[/mm]
erhältst Du [mm]d=h\left(a,b,c\right)[/mm]
Bestimme die Hesse-Matrix von
[mm]\tilde{\Phi}\left(a,b,c\right):=\Phi(a,b,c,h\left(a,b,c\right),\lambda)[/mm]
Die auftretenden partiellen Ableitungen [mm]\bruch{\partial^{k} h}{\partial a^{l} \partial b^{m} \partial c^{n}}, \ k=1,2, \ l \ge 0, m \ge0 , n \ge 0, l+m+n = k[/mm]
werden durch das Gleichungssystem
[mm]\bruch{\partial^{k} g\left(a,b,c,h\left(a,b,c\right) \right)}{\partial a^{l} \partial b^{m} \partial c^{n}}, \ k=1,2, \ l \ge 0, m \ge0 , n \ge 0, l+m+n = k[/mm]
bestimmt.
Diese partiellen Ableitungen setzt Du nun in die Hesse-Matrix ein.
Und erhältst so eine Bedingung für die Art des Extremums.
Viel Spass.
> Ich habe ja schon die Stelle P, welche ein mögliches
> Extremum ist gefunden - es geht nur mehr um die
> Überprüfung ob sie Min/MAx ist.
>
> Ich weiß nicht wie mich dein Kriterium weiterbringt vor
> allem was ist wenn ich die Nebenbedingung gar nicht
> auflösen kann?
>
>
> Lg Thomas
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
> Hallo Thomas_Aut,
>
> > Bist du so nett und könntest kurz skizzieren wie du das in
> > dem speziellen Fall machen würdest - ich stehe irgendwie
> > auf der Leitung bzgl. des Kriteriums zum überprüfen?
> >
>
>
> Inzwischen hab ich das anhand der Bedingung bei
> einer Funktion von hzwei Variablen herausgefunden,
> wie das allgemein gehen kann.
>
>
> >
> > Nebenb. : a+4b-3c-d=2 somit g(a,b,c,d) = a+4b-3c-d-2
> > f(a,b,c,d) = [mm]\frac{1}{ab^{2}c^{3}d^{4}}[/mm]
> >
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> Wir haben ja die Funktion
>
> [mm]\Phi(a,b,c,d,\lambda)=f\left(a,b,c,d)+\lambda*g\left(a,b,c,d)[/mm]
>
> Aus der Nebenbedingung [mm]g\left(a,b,c,d)=0[/mm]
> erhältst Du [mm]d=h\left(a,b,c\right)[/mm]
>
> Bestimme die Hesse-Matrix von
>
> [mm]\tilde{\Phi}\left(a,b,c\right):=\Phi(a,b,c,h\left(a,b,c\right),\lambda)[/mm]
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> Die auftretenden partiellen Ableitungen [mm]\bruch{\partial^{k} h}{\partial a^{l} \partial b^{m} \partial c^{n}}, \ k=1,2, \ l \ge 0, m \ge0 , n \ge 0, l+m+n = k[/mm]
>
> werden durch das Gleichungssystem
>
> [mm]\bruch{\partial^{k} g\left(a,b,c,h\left(a,b,c\right) \right)}{\partial a^{l} \partial b^{m} \partial c^{n}}, \ k=1,2, \ l \ge 0, m \ge0 , n \ge 0, l+m+n = k[/mm]
>
> bestimmt.
>
> Diese partiellen Ableitungen setzt Du nun in die
> Hesse-Matrix ein.
> Und erhältst so eine Bedingung für die Art des
> Extremums.
>
> Viel Spass.
>
>
> > Ich habe ja schon die Stelle P, welche ein mögliches
> > Extremum ist gefunden - es geht nur mehr um die
> > Überprüfung ob sie Min/MAx ist.
> >
> > Ich weiß nicht wie mich dein Kriterium weiterbringt vor
> > allem was ist wenn ich die Nebenbedingung gar nicht
> > auflösen kann?
> >
> >
> > Lg Thomas
>
>
> Gruss
> MathePower
Hallo MathePower,
Danke, danke das leuchtet mir ein ja.
Puh ziemlich viel Rechenarbeit , aber ich werde mich morgen dahinterklemmen!
mfG
Thomas
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