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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Do 06.09.2007 | | Autor: | Nima |
| Aufgabe | a) Die Zahl 100 soll so in 2 positive Summanden x und y zerlegt werden, dass die Summe der Quadrate dieser Summanden möglichst klein wird. Finde x und y.
b) Aus 50 m Draht soll ein rechteckiges, einmal unterteiltes Gitter mit maximaler Fläche abgedeckt werden. Finde die dafür nötigen Seitenlängen. |
Hallo alle da draussen!
Ich komme bei den beiden Aufgaben einfach nicht weiter. Wir hatten da vorher ein viel einfacheres Beispiel behandelt.
Also es ist mir bewusst, dass erstmal ein Gleichungssytem aufgestellt werden muss, dann eine Funktion bestimmt werden muss, der Graph gezeichnet werden muss und dann das Maximum bestimmt werden muss.
Bei a) komme ich nur zu einer Gleichung : x+y = 100
Ich hatte es noch mit [mm] (x+y)^2 [/mm] = [mm] (100)^2 [/mm] probiert, aber das war dann nichts.....
Bei b) komme ich nur auf die Gleichung 50 = 3x + 2y
(also 2 lange Seiten y, 2 kurze x und eine Unterteilung die genauso lang wie x ist, wie bei einer mit Strichen gezeichneten 8).
Kann mir jemand helfen???
Nima
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Do 06.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nima!
Deine Hauptbedingung für die Summe der Quadrate ist falsch:
$$S(x,y) \ = \ [mm] x^2+y^2$$ [/mm] Das soll nun minimiert werden.
Setze hier die nach $y \ = \ ...$ umgeformte Nebenbedingung $x+y \ = \ 100$ ein und führe eine Extremwertberechnung durch.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Do 06.09.2007 | | Autor: | Nima |
Hab leider nichts begriffen, könntest du mir das etwas leichter erklären? ich weiss ja gar nicht wie die gleichung dann aussehen sollte...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Do 06.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
S(x,y)=x²+y² ist die Hauptbedingung. S ist die Summe, die minimal werden soll! Und diese besteht ja aus aus den Quadraten der Summanden x und y.
Die Nebenbedingung ist x+y=100, da die 100 ja in diese beiden Summanden zerlegt wird.
Aus der Nebenbedingung kannst du nun z.B. y=100-x machen und das y in der Hauptbedingung dadurch ersetzen.
Zielfunktion: S(x)=x²+(100-x)²=...vereinfachen, ableiten, 0 setzen, x erhalten, y erhalten :)
EDIT: Ok, hab gelesen, dass ihr das ohne Ableitung lösen sollt.
Trotzdem vereinfachen! Dann solltest du eine umgedrehte Parabel erhalten, die dir die Summe in Abhängigkeit von x zeigt. Die Summe soll ja am kleinsten sein, also bestimme den (den x-Wert) Scheitelpunkts! Dann kannst du den gefundenen Wert wieder in y=100-x einsetzen um y zu erhalten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Do 06.09.2007 | | Autor: | moody |
Dein Ansatz ist doch schonmal gut.
Du hast f(x) = 3a + 2b = 50 für den Umfang.
Dann hast du g(x) = a * b für den Flächeninhalt. Dieser soll maximal werden.
Also formst du f(x) z.b. nach a um und erhälst: a = [mm] \bruch{50}{3} [/mm] - [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * b
Das setzt du dann in g(x) ein da g(x) ja maximal werden soll.
Dann erhälst du:
g(x) = [mm] (\bruch{50}{3} [/mm] - [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * b) * b
Dann bildest du die Ableitungen und bestimmst das Maximum.
Soweit klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Do 06.09.2007 | | Autor: | Nima |
Hallo,
vielen Dank für die Antworten, das Problem ist nur, dass wir Ableitungen ja noch gar nicht beherrschen und diese Aufgaben auch ohne Ableitungen lösen sollen.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Do 06.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Du musst ja eigentlich im Endeffekt nur den Scheitel der Parabel bestimmen! Ableiten ist nur eine Möglichkeit (eine sehr schnelle :P), aber es geht halt auch anders (Scheitelpunktsform).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Do 06.09.2007 | | Autor: | Nima |
Also zu a) hast du's sehr gut erklärt. Ich hab da schon verstanden wie das gemacht werden muss.
Aber bitte erklär nochmal den Lösungsweg zu b). Ich habe ja die Gleichung 50= 2y+ 3x.
Und die zweite wäre dann wie? Und wie kommt man auf die?
Bitte hilf mir!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Fr 07.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ewigentlich hast du die Antwort doch schon von moody
der Flächeninhalt ist doch F=x*y
und du weisst 2x+3y=50 auflösen nach y=...
das in F einsetzen und schon hast du wieder ne Parabel, und willst natürlich den Scheitel wissen.
Die Aufgaben gehen alle nach dem Rezept:
etwas soll möglichst groß (oder klein) werden.
das hängt von 2 Größen, die man oft x und y nennt ab.
und das nennt man die Hauptbedingung hier die Fläche.
Dann braucht man noch ne Nebenbedingung, also irgendwas was man noch über x und y weiss, hier dass die Länge des Drahts gegeben ist.
dann rechnet man aus der Bedingung y aus, setzt es in die Hauptbedingung ein, und dann hat man ne Funktion- ihr wohl meistens ne Parabel und sucht davon den höchsten oder tiefsten Punkt.
Gruss leduart
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