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Hi!
Ich hab folgende Aufgabe:
f(x,y) = [mm] \bruch{1}{2} \pmat{x \\ y}^{T} \pmat{ 2 & 3 \\ 3 & 5 } \pmat{x \\ y} [/mm] + [mm] \pmat{5 \\ 5}^{T} \pmat{x \\ y}
[/mm]
Nun sollen eben alle kritischen Punkte bestimmt werden, und dann bestimmt werden, ob es sich um Maximal- bzw. Minimalstellen handelt, oder weder noch.
Erstmal so wie die Funktion angegeben ist irritiert mich schonmal.
Naja ich hab alles ausmultipliziert und dann den Gradienten berechnet.
f(x,y) = [mm] x^{2} [/mm] + 3xy + [mm] \bruch{5}{2} y^2 [/mm] + 5x +5y
gradient f(x,y) = [mm] \pmat{2x + 3y + 5 \\ 5y + 3x+ 5}
[/mm]
Davon die Nullstellen bestimmen.
[mm] \Rightarrow [/mm] x=-10 y=5
Soweit ich weiss untersucht man jetzt die Hessematrix in diesem Punkt (-10,5) auf Definitheit. Aber anscheinend ist die Hessematrix hier ja:
[mm] \pmat{ 2 & 3 \\ 3 & 5 }. [/mm]
Wie macht man da weiter?
Bzw. ist das alles so richtig wie ich das angegangen bin?!
Danke für Hilfe.
Gruß
Fingolfin
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Hallo Fingolfin,
> Soweit ich weiss untersucht man jetzt die Hessematrix in
> diesem Punkt (-10,5) auf Definitheit. Aber anscheinend ist
> die Hessematrix hier ja:
> [mm]\pmat{ 2 & 3 \\ 3 & 5 }.[/mm]
> Wie macht man da weiter?
Zunächst muß die Hessematrix definit sein([mm]\left( {f_{xx} \;f_{yy} \; - \;f_{xy}^2 } \right)\;\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; > \;0[/mm]).
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
{f_{xx} \left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)} & {f_{xy} \left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)} \\
{f_{yx} \left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)} & {f_{yy} \left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)} \\
\end{array}} \right)[/mm]
Um die Art des Extremums festzustellen, werden die Diagonalelemente betrachtet.
Gilt [mm]f_{xx} \left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; > \;0,\;f_{yy} \left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; > \;0\;[/mm], so liegt ein lokales Minimum vor.
Gilt [mm]f_{xx} \left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; < \;0,\;f_{yy} \left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; < \;0\;[/mm], so liegt ein lokales Maximum vor.
Ist hingegen [mm]\left( {f_{xx} \;f_{yy} \; - \;f_{xy}^2 } \right)\;\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; < \;0[/mm], so liegt ein Sattel- oder Jochpunkt vor.
Für [mm]\left( {f_{xx} \;f_{yy} \; - \;f_{xy}^2 } \right)\;\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; = \;0[/mm] kann nicht entschieden werden, ob ein Extremum vorliegt oder nicht.
> Bzw. ist das alles so richtig wie ich das angegangen
> bin?!
Ja, das ist richtig.
Gruß
MathePower
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Hi,
ok danke, das werd ich dann so machen.
Was mich jetzt in dem Beispiel stutzig macht, ist dass die Hessematrix anscheinend gar nicht mehr von x und y abhängt. Also es ist völlig egal was x und y sind. Kann das sein?
Gruß
Fingolfin
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Hallo Fingolfin,
> ok danke, das werd ich dann so machen.
> Was mich jetzt in dem Beispiel stutzig macht, ist dass die
> Hessematrix anscheinend gar nicht mehr von x und y abhängt.
> Also es ist völlig egal was x und y sind. Kann das sein?
Bei quadratischen Polynomen ist die 2. Ableitung konstant.
Demzufolge ist es egal was x und y sind.
Gruß
MathePower
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