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Hi,
ich bin leider in der Extremalwertberechnung nicht wirklich eine Leuchte und hätte da mal eine Aufgabe bei der ich gar nicht weiterkomme.
f(x)= - [mm] \bruch{1}{18}*x³+ \bruch{1}{2}*x²
[/mm]
a) Berechne Nullstellen, Extrem-und Wendepunkte und zeichne den Graphen f für -4<x<10.
Das habe ich auch schon hinbekommen: N(0/0) N(9/0) T(0/0) H(6/6) W(3/3)
b) Von einem Punkt P des Graphen im 1. Quadranten wird das Lot auf die x-Achse gefällt, der Lotfußpunkt sei Q. Der Ursprung, Q und P sind die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks.
Berechne die Koordinaten des Punktes P, für den das Dreieck die größtmögliche Fläche hat.
c) Zeige: Der Graph ist symmetrisch zum Wendepunkt.
Bei den letzten beiden Teilaufgaben bräuchte ich Hilfe.
Vielen Dank schonmal,
roflinchen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> f(x)= - [mm]\bruch{1}{18}*x³+ \bruch{1}{2}*x²[/mm]
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> a) Berechne Nullstellen, Extrem-und Wendepunkte und zeichne
> den Graphen f für -4<x<10.
>
> Das habe ich auch schon hinbekommen: N(0/0) N(9/0) T(0/0)
> H(6/6) W(3/3)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") alles richtig 
> b) Von einem Punkt P des Graphen im 1. Quadranten wird das
> Lot auf die x-Achse gefällt, der Lotfußpunkt sei Q. Der
> Ursprung, Q und P sind die Eckpunkte eines rechtwinkligen
> Dreiecks.
> Berechne die Koordinaten des Punktes P, für den das
> Dreieck die größtmögliche Fläche hat.
Nun ja, überlege dir doch mal, wie dieses Dreieck aussieht. Nimm dir dazu einfach einen beliebigen Punkt auf dem Graphen und berechne davon mal den Flächeninhalt. Du wirst hoffentlich feststellen, dass es folgendermaßen funktioniert:
Allgemein berechnet sich der Flächeninhalt eines Dreiecks: [mm] A=\bruch{1}{2}g*h, [/mm] mit g Grundseite und h Höhe. Da wir ein rechtwinkliges Dreieck haben, ist die Höhe auch gleich der einen Kathete. In unserem Fall ist die Grundseite das Stück, das auf der x-Achse liegt, also genau die x-Koordinate des Punktes P. Wir schreiben also einfach allgemein x, da wir P ja nicht kennen, sondern noch suchen. Und die Höhe ist dann genau der Funktionswert an der Stelle x, also genau f(x). Soweit klar? Ansonsten frag ruhig nach.
Also erhalten wir als Formel für den Flächeninhalt unseres Dreiecks: [mm] A=\bruch{1}{2}x*f(x). [/mm] Hier kannst du nun für f(x) die Funktion einsetzen, und dann müsstest du eigentlich wissen, wie du weiterkommst. Du suchst ja die größtmögliche Fläche, also ein Maximum der Funktion. Also? Ableitung bestimmen, gleich 0 setzen, usw...
Ich erhalte da übrigens als x-Wert 6,75 - ich denke, das stimmt, aber keine 100%ige Garantie. 
> c) Zeige: Der Graph ist symmetrisch zum Wendepunkt.
Wenn du dir die Funktion mal zeichnen lässt, dann stellst du fest, dass sie punktsymmetrisch ist (und nicht "achsensymmetrisch"...). Wenn du die Funktion so verschiebst, dass der Wendepunkt im Ursprung liegt, dann kannst du die Symmetrie ganz einfach zeigen, indem du zeigst, dass gilt: f(x)=-f(-x). Ich hoffe, diese "Formel" kennst du...
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen!?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Vielen lieben Dank für Deine schnelle Hilfe.
Aufgabe b habe ich super so verstanden.
Ich hab nur nochmal eine Frage zu c. Und zwar: Wie lege ich den Wendepunkt in den Ursprung.
Gruß
roflinchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Di 23.08.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo roflinchen!
> Aufgabe b habe ich super so verstanden.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Prima! Was hast Du denn als Ergebnis raus?
> Ich hab nur nochmal eine Frage zu c. Und zwar: Wie lege
> ich den Wendepunkt in den Ursprung.
Hast Du Dir mal meine Antwort durchgelesen?
Da steht der Nachweis einschl. Ansatz für die Punktsymmetrie.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Di 23.08.2005 | | Autor: | roflinchen |
Hi!
Mein Ergebnis für den Punkt P ist: P(6,75/5,695).
Danke für Deinen Hinweis...hab ich doch glatt übersehen.
Vielen Dank
roflinchen
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Hallo roflinchen,
!!
Für den Nachweis der Punktsymmetrie zu einem Punkt $P \ [mm] \left( \ a \ \left| \ b \ \right)$ musst Du folgendes nachweisen (siehe auch in der MatheBank unter [[symmetrisch|Symmetrie]]):
$f(a+x) + f(a-x) \ = \ 2*b$
Für Deine Funktion mit dem Wendepunkt $W \ \left( \ 3 \ \left| \ 3 \ \right)$ heißt das konkret:
Zu zeigen: $f(3+x) + f(3-x) \ = \ 2*3 \ = \ 6$
Gruß vom
Roadrunner
[/mm]
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