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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle lokalen Maxima und Minima der Funktion
f: [mm] R^2 \rightarrow [/mm] R f(x,y) = x+y-sin(x)-sin(y) |
Hallo, undzwar habe ich folgendes raus. Ist das richtig?
[mm] f_x [/mm] (x,y) = - cos(x)
[mm] f_y [/mm] (x,y) = - cos(x)
-cos(x) = 0
-cos( [mm] \bruch{Pi}{3} [/mm] ) = 0
An der Stelle [mm] (\bruch{Pi}{3},\bruch{Pi}{3}) [/mm] liegt also ein möglicher Extremum vor.
Hessematrix:
[mm] \begin{pmatrix}
sin (x) & 0 \\
0 & sin (x)
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
\bruch{\wurzel 3}{2} & 0 \\
0 & \bruch{\wurzel 3}{2}
\end{pmatrix}
[/mm]
Die Eigenwerte wären [mm] \Lambda_1 [/mm] = [mm] \Lambda_2 [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel 3}{2}
[/mm]
Die Matrix ist positiv definit und damit liegt bei [mm] (\bruch{Pi}{3},\bruch{Pi}{3}) [/mm] ein Minimum vor.
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> Bestimmen Sie alle lokalen Maxima und Minima der Funktion
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> f: [mm]R^2 \rightarrow[/mm] R f(x,y) = x+y-sin(x)-sin(y)
> Hallo, undzwar habe ich folgendes raus. Ist das richtig?
>
> [mm]f_x[/mm] (x,y) = - cos(x)
> [mm]f_y[/mm] (x,y) = - cos(x)
Hallo,
Die partiellen Ableitungen stimmen nicht.
Du mußt doch x bzw. y auch ableiten.
LG Angela
>
> -cos(x) = 0
> -cos( [mm]\bruch{Pi}{3}[/mm] ) = 0
>
>
> An der Stelle [mm](\bruch{Pi}{3},\bruch{Pi}{3})[/mm] liegt also ein
> möglicher Extremum vor.
>
> Hessematrix:
> [mm]\begin{pmatrix} sin (x) & 0 \\
0 & sin (x) \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix} \bruch{\wurzel 3}{2} & 0 \\
0 & \bruch{\wurzel 3}{2} \end{pmatrix}[/mm]
>
> Die Eigenwerte wären [mm]\Lambda_1[/mm] = [mm]\Lambda_2[/mm] =
> [mm]\bruch{\wurzel 3}{2}[/mm]
>
> Die Matrix ist positiv definit und damit liegt bei
> [mm](\bruch{Pi}{3},\bruch{Pi}{3})[/mm] ein Minimum vor.
>
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also 1-cos(x)? und dann alles nochmal?
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Hallo ellegance88,
genauso ist es.
Gruß
schachuzipus
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[mm] f_x [/mm] (x,y) = 1-cos(x)
[mm] f_y(x,y= [/mm] 1-cos (y)
Dann liegt vermutlich an der Stelle 0 ein Extremum vor.
Nur jetzt habe ich da sin(0)=0
in der Hesse-Matrix 4 Nullen? :S was bedeutet das?
Sattelpunkt?
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> [mm]f_x[/mm] (x,y) = 1-cos(x)
> [mm]f_y(x,y=[/mm] 1-cos (y)
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> Dann liegt vermutlich an der Stelle 0 ein Extremum vor.
>
> Nur jetzt habe ich da sin(0)=0
>
> in der Hesse-Matrix 4 Nullen? :S was bedeutet das?
Hallo,
Du kommst mit der Hessematrix hier nicht weiter.
Die Geschichte mit der Hessematrix ist ja auch ein hinreichendes Kriterium, und hier wird deutlich, daß es einem nicht immer weiterhilft.
Und was nun?
Irgendwie muß man die Stellen, die man als Extremwertkandidaten hat, anders untersuchen, vielleicht durch Betrachtung der Funktionswerte in der Umgebung der kritischen Punkte.
Evtl. hilft Dir hierbei Wissen über den sin weiter, die Taylorentwicklung oder so.
LG Angela
>
> Sattelpunkt?
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Hallo,
> Bestimmen Sie alle lokalen Maxima und Minima der Funktion
>
> f: [mm]R^2 \rightarrow[/mm] R f(x,y) = x+y-sin(x)-sin(y)
> Hallo, undzwar habe ich folgendes raus. Ist das richtig?
>
> [mm]f_x[/mm] (x,y) = - cos(x)
> [mm]f_y[/mm] (x,y) = - cos(x)
>
> -cos(x) = 0
> -cos( [mm]\bruch{Pi}{3}[/mm] ) = 0
Echt?!?! Also bei meinem Kosinus ist [mm] \cos(\pi/3)=1/2
[/mm]
>
>
> An der Stelle [mm](\bruch{Pi}{3},\bruch{Pi}{3})[/mm] liegt also ein
> möglicher Extremum vor.
Du hast es schon richtig gesagt, dass dies nur EIN (!) möglicher Extrempunkt ist. Aber im Allgemeinen gibt es hier wahnsinnig viele. Ja witzigerweise sogar unendlich viele!
>
> Hessematrix:
> [mm]\begin{pmatrix}
sin (x) & 0 \\
0 & sin (x)
\end{pmatrix}[/mm]
Warum steht hier beim zweiten EIntrag noch einmal [mm] \sin(x) [/mm] ?
>
> [mm]\begin{pmatrix}
\bruch{\wurzel 3}{2} & 0 \\
0 & \bruch{\wurzel 3}{2}
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Die Eigenwerte wären [mm]\Lambda_1[/mm] = [mm]\Lambda_2[/mm] =
> [mm]\bruch{\wurzel 3}{2}[/mm]
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> Die Matrix ist positiv definit und damit liegt bei
> [mm](\bruch{Pi}{3},\bruch{Pi}{3})[/mm] ein Minimum vor.
>
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ja stimmt cos ( Pi halbe ) wäre = 0..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Fr 25.01.2013 | | Autor: | Richie1401 |
> ja stimmt cos ( Pi halbe ) wäre = 0..
Und was ist mit [mm] \cos(\frac{5\pi}{2}) [/mm] ?
Du hast eine Funktion von [mm] \IR^2\to\IR
[/mm]
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das ergibt auch null.
Also gibt es hier unendlich viele Lösungen.
willst du mir glaub damit sagen, ^^
aber eine Frage hätte ich, woran erkenne ich denn, dass es unendlich viele Lösungen gibt? sieht man es schon vorher?
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Selbstverständlich. Die trigonometrischen Funktionen sind doch periodisch. Das erkennt man doch sehr gut an dem Graphen.
[mm] \cos(x)=1 \gdw x=2k\pi,\ k\in\IZ
[/mm]
Du müsstest also alle (!) Stellen der Form [mm] (2k\pi,2k\pi) [/mm] untersuchen.
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> Du müsstest also alle (!) Stellen der Form [mm](2k\pi,2k\pi)[/mm]
> untersuchen.
Hallo,
es sind mehr Stellen, die zu untersuchen sind:
alle Stellen [mm] (2k\pi, 2l\pi).
[/mm]
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:15 Sa 26.01.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Guten Morgen Angela,
danke für den Hinweis, der natürlich korrekt ist und ganz klar ein Fehler meinerseits.
Ich wünsche ein schönes Wochenende!
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