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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:23 Di 10.04.2007 | | Autor: | Clarcie |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f mit der Gleichung [mm] f(x)=2x-t^2*x^3 [/mm] , [mm] t\not=0. [/mm]
Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch-und Tiefpunkte des Graphen von f.
Zeigen Sie, dass die Hoch-, Tiefpunkte des Graphen von f unabhängig von t stets auf derselben Geraden liegen. |
Hallo,
zu der Aufgabenstellung oben habe ich eine Frage: und zwar habe ich auch die Gleichung f'(x)=0 gelöst und habe dabei x-Werte erhalten: [mm] x=\wurzel{\bruch{2}{3*t^2}} [/mm] und [mm] x=-\wurzel{\bruch{2}{3t^2}}. [/mm] Jetzt habe ich diese Werte wie nötig in die zweite Ableitung eingesetzt und erhalte [mm] f''(\wurzel{\bruch{2}{3t^2}})=-6*t^2*\wurzel{\bruch{2}{3*t^2}} [/mm] und einmal eben [mm] f''(-\wurzel{\bruch{2}{3t^2}})=-6*t^2*-\wurzel{\bruch{2}{3*t^2}}, [/mm] somit müssten doch eigentlich die Tatsache, ob es sich jeweils um einen Hoch -oder Tiefpunkt handelt von t abhängig sein, oder? Leider habe ich aber in meinem Heft stehen, dass an der Stelle [mm] x=\wurzel{\bruch{2}{3*t^2}} [/mm] der Graph einen Hochpunkt hat und an der Stelle [mm] x=-\wurzel{\bruch{2}{3*t^2}} [/mm] einen Tiefpunkt und zwar für ALLE [mm] t\not=0. [/mm] Meine Frage nun: Wo liegt mein Fehler, denn ich hatte das so im Heft stehen und habe das aber druchgestrichen.
So nun die 2.Frage: Bei der Geraden durch die extrempunkte gibt es ja mehrere Lösungsmöglichkeiten bei einer davon bekomme ich [mm] y=\bruch{4}{3}x [/mm] heraus und bei der anderen [mm] y=\bruch{4}{3}|x| [/mm] das ist doch nicht dasselbe... wie kann das sein??
ich habe so gerechnet:
einmal über die Punktsteigungsform mit dem Hoch- und dem Tiefpunkt als Punkten und einmal habe ich den x-Wert vom Hochpunkt nach t aufgelöst und folgendes erhalten: [mm] t^2=\bruch{2}{3x^2} [/mm] anschließend habe ich diesen Wert von t in den y-Wert vom Hochpunt eingesetzt und dann folgendes erhalten: [mm] y=\wurzel{\bruch{16x^2}{9}} [/mm] wenn ich dann aber die Wurzel ziehe erhalte ich aber y= [mm] \bruch{4}{3}|x| [/mm] bzw. [mm] y=-\bruch{4}{3}x [/mm] und [mm] y=\bruch{4}{3}x. [/mm] Wo liegt hier mien Fehler??
Freue mich über jede Hilfe!!
Clarcie
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Hallo,
> Gegeben sei die Funktion f mit der Gleichung [mm]f(x)=2x-t*x^3[/mm]
> , [mm]t\not=0.[/mm]
> Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch-und Tiefpunkte des
> habe ich auch die Gleichung f'(x)=0 gelöst und habe dabei
> x-Werte erhalten: [mm]x=wurzel{\bruch{2}{3*t^2}}[/mm] und
> [mm]x=-\wurzel{\bruch{2}{3t^2}}.[/mm]
Hier ist das [mm] t^2 [/mm] falsch, es muss lediglich t heißen, sonst ist das richtig.
Jetzt habe ich diese Werte wie
> nötig in die zweite Ableitung eingesetzt und erhalte
> [mm]f''(\wurzel{\bruch{2}{3t^2}})=-6*t^2*\wurzel{\bruch{2}{3*t^2}}[/mm]
> und einmal eben
> [mm]f''(-\wurzel{\bruch{2}{3t^2}})=-6*t^2*-wurzel{\bruch{2}{3*t^2}},[/mm]
...auch hier überall wo [mm] t^2 [/mm] steht muss t stehen.
> somit müssten doch eigentlich die Tatsache, ob es sich
> jeweils um einen Hoch -oder Tiefpunkt handelt von t
> abhängig sein, oder?
Nein... für jedes [mm] t\not=0 [/mm] besitzt du einen Hoch-und Tiefpunkt an den oben ausgerechneten Stellen. Der Wert von t eintscheidet nicht OB es sich um einen Tief-oder Hochpunkt handelt.
Hochpunkt H [mm] (\wurzel{\bruch{2}{3t}}/\bruch{4}{3}*\wurzel{\bruch{2}{3t}})
[/mm]
Tiefpunkt T [mm] (-\wurzel{\bruch{2}{3t}}/-\bruch{4}{3}*\wurzel{\bruch{2}{3t}})
[/mm]
Jetzt hast du j 2 Punkte, die eine Gerade definieren. Stell die Glechung dieser Gerade auf. Dabei müsste t rausfallen, da unabhängig von t alle Extrema auf derselben Geraden liegen.
Du müsstest auch keine Probleme mt Beträgen bekommen, da du ja ken [mm] t^2 [/mm] hast.
Liebe Grüße
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:50 Di 10.04.2007 | | Autor: | Clarcie |
Hallo,
argh... ich habe die Frage falsch eingegeben gehabt. Tut mir wirklich sehr Leid!!! Die richtige Funktion heißt: [mm] f(x)=2x-t^2*x^3, t\not=0!! [/mm]
Die Frage bleibt dieselbe...
Hoffe auf Antworten und bedanke mich schon mal!!!!
Clarcie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:06 Di 10.04.2007 | | Autor: | SLe |
t kommt ja in der 2. Ableitung immer nur im Quadrat vor. Und t² ist immer positiv, wie jede Quadratzahl. Und ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt hängt ja nur davon ab, ob die 2. Ableitung positiv oder negativ ist. Daran ändert t² aber nichts, egal ob t positiv oder negativ ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 10.04.2007 | | Autor: | Clarcie |
Hallo nochmal,
also mir ist das noch nicht ganz klar: wenn ich doch den Therm [mm] f''(\wurzel{\bruch{2}{3t^2}})=-6t^2*\wurzel{\bruch{2}{3t^2}} [/mm] weiter auflösen würde, bekäme ich doch [mm] -\wurzel{\bruch{36*2*t^4}{3t^2}}=-|t|*\wurzel{24} [/mm] raus und für [mm] f''(-\wurzel{\bruch{2}{3t^2}})=-6t^2*-\wurzel{\bruch{2}{3t^2}}=\wurzel{\bruch{36*2*t^4}{3t^2}}=|t|*\wurzel{24}. [/mm] Aber dann hängt doch die Tatsache, ob es sich um einen Hoch-oder Tiefpunkt handelt von t ab, oder etwa nicht?
Mir ist schon klar, dass ich eigentlich schon sehe, dass es unabhängig von t ist, wenn ich [mm] f''(\wurzel{\bruch{2}{3t^2}})=-6t^2*\wurzel{\bruch{2}{3t^2}} [/mm] habe, aber wieso kommt dann etwas anderes raus, wenn ich es weiter auflöse??
Hoffe, dass mir jemand hilft und bedanke mich schon mal!!
Clarcie
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Hallo Clarcie> Hallo nochmal,
>wenn ich doch den
> Therm
> [mm]f''(\wurzel{\bruch{2}{3t^2}})=-6t^2*\wurzel{\bruch{2}{3t^2}}[/mm]
> weiter auflösen würde, bekäme ich doch
> [mm]-\wurzel{\bruch{36*2*t^4}{3t^2}}=-|t|*\wurzel{24}[/mm] raus und
> für
> [mm]f''(-\wurzel{\bruch{2}{3t^2}})=-6t^2*-\wurzel{\bruch{2}{3t^2}}=\wurzel{\bruch{36*2*t^4}{3t^2}}=|t|*\wurzel{24}.[/mm]
Ich glaube, der Fehler liegt darin, dass du [mm] t^2 [/mm] mit unter die Wurzel geschrieben hast. [mm] t^2 [/mm] ist ja in jedem Fall positiv. [mm] \wurzel{t^4} [/mm] kann jedoch positiv und negativ sein. Wenn du also [mm] t^2 [/mm] als Wurzel schreiben möchtest, müsstest du [mm] \wurzel{t^2}^2 [/mm] schreiben.
Wenn du jetzt nur die 6 mit in die Wurzel holst, dann ergibt sich:
[mm] $-t^2*\wurzel{\bruch{36\cdot{}2\cdot{}}{3t^2}}$ [/mm] = [mm] -t^2*\wurzel{\bruch{8}{t^2}}
[/mm]
Jetzt ist [mm] t^2 [/mm] auf jeden Fall positiv und der Quotient unter der Wurzel ebenfalls.
Wenn du die Wurzel nun noch weiter in [mm] \bruch{\wurzel{8}}{\wurzel{t^2}} [/mm] auflösen möchtest, bin ich mir nicht ganz sicher... aber das Ergebnis, also ob es negativ oder positiv ist, hängt dann wieder nciht von t ab, da [mm] t^2 [/mm] in jedem Fall positiv ist und die Wurzel dem zufolge auch immer [mm] +\wurzel{x} [/mm] und [mm] -\wurzel{x} [/mm] sein kann.
Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig weiterhelfen...
Liebe Grüße, Janina
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