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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extremstellen
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Extremstellen: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Di 29.01.2013
Autor: ellegance88

Aufgabe
Man untersuche die lokalen Extrema der Funktion

f(x,y)= xy [mm] e^{-x^2-y^2} [/mm]


Hallo erstmal, ich habe die partiellen Ableitungen gebildet, aber weiß nicht ob die richtig sind.

[mm] \bruch{df}{dx} [/mm] = [mm] e^{-x^2-y^2} [/mm] (1-2x+xy+y)

[mm] \bruch{df}{dy} [/mm] = [mm] e^{-x^2-y^2} [/mm] (1-2y+xy+x)

[mm] \bruch{df}{dx_2} [/mm] = [mm] e^{-x^2-y^2} (-2+y-2x+4x^2-2x^2y-2xy) [/mm]
kann ich dort noch was zusammenfassen? (falls es richtig ist?)

[mm] \bruch{df}{dxy} [/mm] = [mm] e^{-x^2-y^2} (2+x-2y+4xy-2xy^2-2y^2) [/mm]
kann ich dort noch was zusammenfassen? (falls es richtig ist?)





        
Bezug
Extremstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:09 Di 29.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo ellegance88,


> Man untersuche die lokalen Extrema der Funktion
>  
> f(x,y)= xy [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm]
>  
> Hallo erstmal, ich habe die partiellen Ableitungen
> gebildet, aber weiß nicht ob die richtig sind.
>
> [mm]\bruch{df}{dx}[/mm] = [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm] (1-2x+xy+y)

Rechne das mal vor.

Nach Produkt- und Kettenregel ergibt sich doch

[mm]f_x(x,y)=y\cdot{}e^{-x^2-y^2}+xy\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}(-2x)=y\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}\left[1-2x^2\right][/mm]

>  
> [mm]\bruch{df}{dy}[/mm] = [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm] (1-2y+xy+x)
>  
> [mm]\bruch{df}{dx_2}[/mm] = [mm]e^{-x^2-y^2} (-2+y-2x+4x^2-2x^2y-2xy)[/mm]
>  
> kann ich dort noch was zusammenfassen? (falls es richtig
> ist?)
>  
> [mm]\bruch{df}{dxy}[/mm] = [mm]e^{-x^2-y^2} (2+x-2y+4xy-2xy^2-2y^2)[/mm]
>  
> kann ich dort noch was zusammenfassen? (falls es richtig
> ist?)

Rechne das nochmal nach und vor, das sieht nicht stimmig aus ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Extremstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 Di 29.01.2013
Autor: ellegance88

$ [mm] f_x(x,y)=y\cdot{}e^{-x^2-y^2}+xy\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}(-2x)=y\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}\left[1-2x^2\right] [/mm] $

okay mein fehler habe ich gesehen. nur jetzt kommt die zweite Ableitung.

y * [mm] e^{-x^2-y^2} (1-2x^2) [/mm]

ist jetzt u(x) = y* [mm] e^{-x^2-y^2} [/mm] oder muss ich u(x) = y und v(x)= [mm] e^{-x^2-y^2} [/mm] und am ende noch einmal die Produktregel anwenden?



Bezug
                        
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Extremstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 Di 29.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


>
> [mm]f_x(x,y)=y\cdot{}e^{-x^2-y^2}+xy\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}(-2x)=y\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}\left[1-2x^2\right][/mm]
>  
> okay mein fehler habe ich gesehen. nur jetzt kommt die
> zweite Ableitung.
>  
> y * [mm]e^{-x^2-y^2} (1-2x^2)[/mm]
>  
> ist jetzt u(x) = y* [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm] oder muss ich u(x) = y und
> v(x)= [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm] und am ende noch einmal die Produktregel
> anwenden?

Ersteres scheint sinnvoll, das y ist dabei "nur" multiplikative Konstante.

Leite also nach Produktregel ab: erster Faktor [mm] $ye^{-x^2-y^2}$ [/mm] (den per Kettenregel verarzten), zweiter Faktor: der Klammerausdruck

Gruß

schachuzipus


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Extremstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 Di 29.01.2013
Autor: ellegance88

die zweite Ableitung nach x lautet jetzt bei mir:

[mm] 2xe^{-x^2-y^2} [/mm] ( [mm] -1-2y+2x^2) [/mm] stimmt das jetzt?

Bezug
                                        
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Extremstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Di 29.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> die zweite Ableitung nach x lautet jetzt bei mir:
>  
> [mm]2xe^{-x^2-y^2}[/mm] ( [mm]-1-2y+2x^2)[/mm] stimmt das jetzt?

Nein!

Rechne vor!

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Extremstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 Di 29.01.2013
Autor: ellegance88

u(x) = [mm] ye^{-x^2-y^2} [/mm] u´(x) = -2x * [mm] e^{-x^2-y^2} [/mm]

v(x) = [mm] 1-2x^2 [/mm] v'(x)= -4x

-2x * [mm] e^{-x^2-y^2} [/mm] * [mm] (1-2x^2) [/mm] +  [mm] ye^{-x^2-y^2} [/mm]  *(-4x)

[mm] e^{-x^2-y^2} [/mm] * [mm] (-2x+4x^3) [/mm] + [mm] e^{-x^2-y^2} [/mm] * (-4xy)

[mm] e^{-x^2-y^2} (4x^3-2x-4xy) [/mm]

[mm] 2xe^{-x^2-y^2} [/mm] ( [mm] 2x^2-1-2y) [/mm]


Bezug
                                                        
Bezug
Extremstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 Di 29.01.2013
Autor: MathePower

Hallo ellegance88,

> u(x) = [mm]ye^{-x^2-y^2}[/mm] u´(x) = -2x * [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm]
>  


Hier ist ein y verlorengegangen:

[mm]u´(x) = -2x\red{y} * e^{-x^2-y^2}[/mm]


> v(x) = [mm]1-2x^2[/mm] v'(x)= -4x
>  
> -2x * [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm] * [mm](1-2x^2)[/mm] +  [mm]ye^{-x^2-y^2}[/mm]  *(-4x)
>  
> [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm] * [mm](-2x+4x^3)[/mm] + [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm] * (-4xy)
>  
> [mm]e^{-x^2-y^2} (4x^3-2x-4xy)[/mm]
>  
> [mm]2xe^{-x^2-y^2}[/mm] ( [mm]2x^2-1-2y)[/mm]

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                                                                
Bezug
Extremstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 Di 29.01.2013
Autor: ellegance88

sooo nun als Endergebis dieser Ableitung habe ich:

2xy [mm] e^{-x^2-y^2} (2x^2-3) [/mm]

richtig?

Bezug
                                                                        
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Extremstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Di 29.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> sooo nun als Endergebis dieser Ableitung habe ich:
>  
> 2xy [mm]e^{-x^2-y^2} (2x^2-3)[/mm]
>  
> richtig?

Jau!

Gruß

schachuzipus


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