Extremum, lok. Max. bzw Min. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 So 28.05.2006 | | Autor: | melek |
| Aufgabe | Sei $f:(a,b) [mm] \mapsto \IR$ [/mm] eine n-fach stetig differenzierbare Funktion (n>0). Für [mm] $x_0 \in [/mm] (a,b)$ gelte [mm] $f^{(k)}(x_0)=0$ [/mm] für [mm] $1\le [/mm] k<n$ und [mm] $f^{(n)}(x_0)\not=0$.
[/mm]
a) Ist n ungerade, so besitzt f in [mm] x_0 [/mm] kein Extremum.
b) Ist n jedoch gerade, so besitzt f in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Maximum bzw. Minimum, je nachdem, ob [mm] $f^{(n)}(x_0)$ [/mm] kleiner oder größer als null ist. |
hmmmm,meine Ansätze fehlen mit komplett. ich erinnere mich nicht, dass wir in der letzten Zeit in der Vorlesung sowas ähnliches gehabt haben. kann damit leider mal wieder nichts anfangen.
ich werde euch dankbar, wenn ihr mir weiter helft.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:05 Mo 29.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Melek
Kannst du bitte deine Aufgabe mit Hilfe des Formeleditors unter dem Eingabefenster lesbarer machen?
So dauert es schon 10 Min, bis man halbwegs den Satz verstehen kann
"f hoch k" etwa soll wohl die k-te Ableitung von f sein, sonst macht das , was ich bisher entziffert habe , keinen Sinn.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mi 31.05.2006 | | Autor: | melek |
| Aufgabe | Sei f: (a,b) ---> [mm] \IR [/mm] eine n-fach stetig differenzierbare Funktion (n>0). Für
[mm] x_{0} \in [/mm] (a,b) gelte
k-te Ableitung von f an der stelle [mm] x_{0} [/mm] = 0 für 1 [mm] \le [/mm] k <n und die n-te Ableitung von f an der Stelle [mm] x_{0} \not= [/mm] 0.
a) Ist n ungerade, so besitzt f in [mm] x_{0} [/mm] kein Extremum.
b) Ist n gerade, so besitzt f in [mm] x_{0} [/mm] ein lokales Maximum bzw. Minimum, je nachdem, ob die n-te Ableitung an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] kleiner oder größer als 0 ist. |
Kann mir bitte jemand weiter helfen, ich weiß nicht, wie ich vorangehen muss. Sitze die ganze Zeit davor und kann nichts anfangen. Wäre nett, wenn mir jemand dies so erklären könnte, dass ich es nachvollziehen kann.
danke im voraus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Mi 31.05.2006 | | Autor: | sclossa |
Hallo!
Sei f: (a,b) ---> [mm]\IR[/mm] eine n-fach stetig differenzierbare Funktion (n>0). Für [mm]x_{0} \in[/mm] (a,b) gelte k-te Ableitung von f an der stelle [mm]x_{0}[/mm] = 0 für 1 [mm]\le[/mm] k <n und die n-te Ableitung von f an der Stelle [mm]x_{0} \not=[/mm] 0.
a) Ist n ungerade, so besitzt f in [mm]x_{0}[/mm] kein Extremum.
b) Ist n gerade, so besitzt f in [mm]x_{0}[/mm] ein lokales Maximum bzw. Minimum, je nachdem, ob die n-te Ableitung an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] kleiner oder größer als 0 ist.
Kontruiere doch einmal eine Funktion mit n ungerade bzw. n gerade.
z.B. f(x) = x²und f(x) = x³ (mit n ist ja der Grad des Polynoms gemeint)
Dann kannst du dir schoneinmal vorstellen, worauf das hinausläuft.
Vielleicht kannst du das dann auf den allgemeinen Fall irgendwie übertragen....
(Anschaulich klar, aber einfach zu zeigen?)
Ich hoffe ich konnte dir ein wenig weiterhelfen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mi 31.05.2006 | | Autor: | melek |
danke schön,aber so mit beispielen ist es mir auch klar, nur ich kann das halt nicht auf das Allgemeine übertragen. Trotzdem danke!
vielleicht kann mir jdm anderes weiter helfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mi 31.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> danke schön,aber so mit beispielen ist es mir auch klar,
> nur ich kann das halt nicht auf das Allgemeine übertragen.
> Trotzdem danke!
> vielleicht kann mir jdm anderes weiter helfen?
Du brauchst die Taylorentwicklung inkl. Restglied. Hier wurde das schonmal durchdiskutiert.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Mi 31.05.2006 | | Autor: | sclossa |
Also was ich dir für den allgemeinen Fall schonmal sagen kann ist
für n ungerade gilt
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = + [mm] \infty [/mm] und
[mm] \limes_{x\rightarrow\-infty} [/mm] f(x) = - [mm] \infty
[/mm]
Somit kann kein lokales Minimum oder Maximum existieren (es sei denn f ist auf einem kompakten Intervall definiert, denn eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ist beschränkt und nimmt ihr Minimum/Maximum an.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Mi 31.05.2006 | | Autor: | melek |
danke für den ersten teil.
hab jetzt zum zweiten teil eine bemerkung. nehmen wir an f'(xo)=O ist die notwendige und f''(xo) >o bzw. f''(xo)<0 ist die hinreichende Bedingung für ein extremum...was sollte ich dann zeigen.. wie wäre ich dann mit dem beweis fertig?
entschuldige bitte, dass ich solche Fragen stelle, aber ich bin gerade noch am anfang und will gerne alles so weit verstehen.
danke
|
|
|
| |
|
Hallo melek,
die lösung zu deiner aufgabe findest du, wie felixf bereits geschrieben hat in der taylorentwicklung der funktion. Schau dir seinen beitrag und den geposteten link einmal an.
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Do 01.06.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Melek,
bitte keine Doppelpostings hier im Forum!
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
|
