Extremwert(aufgabe) < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Mo 22.08.2011 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Ich habe in einem Praktikum der physikalischen Chemie ein Protokoll zur Photovoltaik angefertigt. Die Spannungsquelle selbst besitzt einen Innenwiderstand [mm] R_i, [/mm] bei Anschluss eines Verbrauchers (Lastwiderstand) [mm] R_L.
[/mm]
Der einzige Wert pro Messreihe der als konstant anzusehen war, war die Leelaufspannung [mm] U_0 [/mm] (naja, die war ja abhängig von der Tageszeit! Also auch nicht wirklich konstant!). Die Klemmspannung [mm] U_{KL} [/mm] wurde gemessen, der Lastwiderstand war gegeben und der Innenwiderstand der Solarzelle musste ermittelt werden.
Die Widerstände sind in Reihe geschaltet, da hier ein Spannungsteiler vorliegt. Die Gesamtstromstärke I ist dabei identisch der jeweiligen Einzelstromstärken an den jeweiligen Widerständen. [mm]I \equiv I_i \equiv I_L[/mm]
Aus den Grundgleichungen
[mm](1)[/mm] [mm]U_0 = U_{KL} + R_i * I_i[/mm]
[mm](2)[/mm] [mm]P = U * I[/mm][mm] \quad [/mm] Gesamtleistung(!)
können nun folgende Gleichungen hergeleitet werden:
[mm](3)[/mm] [mm]P \left( U_{KL}, R_L \right) = \bruch{U_{KL}^2}{R_L}[/mm]
Gl. 3 erschien mir etwas kompliziert, da ja P von Klemmspannung und Lastwiderstand abhängig ist. So entschied ich mich für folgende Gleichung:
[mm](4a)[/mm] [mm]P \left( R_L\right) = \bruch{R_L * U_0^2}{\left(R_i + R_L \right)^2}[/mm]
Mit dieser bin ich zumindest bis zur ersten Ableitung gekommen, die dann so aussieht:
[mm](4b)[/mm] [mm]\bruch{dP}{dR_L} = \bruch{U_0^2}{\left(R_i + R_L \right)^2}- \bruch{2*U_0^2*R_L}{\left(R_i + R_L \right)^3} = 0[/mm]
Diese setze ich Null!
Was mich nun schockiert ;o), ist die Tatsache, dass jeder x-beliebige Wert zu meinem gewünschten Ergebniss führt!
Sinn sollte es ja sein entsprechend [mm] Gl.\,4b [/mm] die Nullstelle (ich hoffe es ist nur eine...) zu finden für die der Graph aus [mm] Gl.\,4a [/mm] das Maximum erreicht (vgl. Bild)!
Weil durch Umstellen dann folgende Umformung entsteht:
[mm](4c)[/mm] [mm]R_L = R_i[/mm]
und somit [mm] Gl.\,4b [/mm] zu
[mm](4d)[/mm] [mm]0 = \bruch{U_0^2}{4 * R_L^2}- \bruch{U_0^2}{4 * R_L^2}[/mm]
wird!
Ich habe mir dann zwangsläufig den Umstand bereitet Gl. 4a u. 4b graphisch darzustellen und wundere mich, dass es dort eine Nullstelle gibt, dies aber mit der Tatsache, dass jedes Argument den Wert Null ergibt! Nun geht aus der Graphik hervor (ich hoffe meine Interpretation ist richtig), dass die Nullstelle sich gar nicht unter dem rel. Maximum des Graphen der [mm] Gl.\,4a [/mm] (der blaue Graph) befindet.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Beide Graphen habe ich übereinanderprojeziert und sind nicht im maßstäblichen Verhältniss projeziert!
Also muss wohl [mm] R_i [/mm] schlussendlich eine Variable sein.
...Irgendwie hätte ich das auch früher merken können...na ja...
So wird dann aus [mm] Gl.\,4a\;Gl.\,5:
[/mm]
[mm](5)[/mm] [mm]P \left( R_L, R_i \right) = \bruch{R_L * U_0^2}{\left(R_i + R_L \right)^2}[/mm]
Und nun bin ich wieder einmal mit meinem Latein am Ende. Irgendwie drehe ich mich im Kreis. Denn [mm] R_i [/mm] ist ja auch:
[mm](6)[/mm] [mm]R_i \left( U_{KL}, R_L \right) = \bruch{R_L \left(U_0 - U_{KL} \right)}{U_{KL}}[/mm]
[mm] Gl.\,6 [/mm] in [mm] Gl.\,5 [/mm] eingesetzt ergibt dann wiederumg [mm] Gl.\,3! [/mm] |
Hallo ihr Helferlein, wiedermal eine Aufgabe die mir den Kopf zerbricht.
Meine Frage nun: Kann man diese Gleichung, diese Problematik, mathematisch analytisch lösen (also über eine Kurvendiskussion) oder geht das nur über das entsprechende U-I-Diagramm in dem man das größtmögliche Rechteck beschreibt, dass die Kurve dabei in einem Punkt schneidet?
Hätte jemand Zeit und Muse mir da ein wenig Klarheit in diesem Sachverhalt zu vermitteln?
Für Hilfe wäre ich euch dankbar!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Mo 22.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. weiss ich nicht genau was deine Frage ist.
anfangs sagst du [mm] R_i [/mm] ist zu bestimmen. später suchst du nach P_max. dazu benutzt du deine Gl 4a) die mit [mm] U_0^2 [/mm] statt [mm] U_0 [/mm] richtig ist.
den Satz :
----------------
$ (4b) $ $ [mm] \bruch{dP}{dR_L} [/mm] = [mm] \bruch{U_0^2}{\left(R_i + R_L \right)^2}- \bruch{2\cdot{}U_0^2\cdot{}R_L}{\left(R_i + R_L \right)^3} [/mm] = 0 $
Diese setze ich Null!
Was mich nun schockiert ;o), ist die Tatsache, dass jeder x-beliebige Wert zu meinem gewünschten Ergebniss führt!
-------------------------
den versth ich nicht Wert für was?
[mm] R_i=R_L [/mm] ist die richtige Lösung.
ich seh auch nicht genau, was du geplottet hast. [mm] R_i [/mm] und [mm] U_0 [/mm] fest [mm] R_L=x?
[/mm]
also eine Kurve wie [mm] x/(1+x)^2
[/mm]
und ihre Ableitung? du hast einfach was falsches geplottet!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Mo 22.08.2011 | | Autor: | murmel |
Hallo Bitte die nachstehende Frage lesen, diese Mitteilung sollte eigentlich ein Frage sein!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Mo 22.08.2011 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Hallo leduart,
entschuldige, ich habe vergessen die Formel für [mm] P_{max} [/mm] einzufügen.
Ok, nur nochmal, damit ich dich richtig verstanden habe: wenn folgende Gleichung gültig ist
[mm](1)[/mm] [mm] P \left(R_L\right) = \bruch{R_L \cdot{} U_0^2}{\left(R_i + R_L \right)^2} [/mm]
wird diese bei entsprechender Substitution zu
[mm](2)[/mm] [mm] P \left(U_{KL}, R_L\right) = \bruch{U_{KL}^2}{R_L} [/mm]
Bis hier hin habe ich es verstanden.
Aus der obengenannten Betrachtung schlussfolgere ich weiter:
Wenn nun [mm]R_i = R_L[/mm], dann wird aus
[mm](3)[/mm] [mm] P \left( R_L\right) = \bruch{R_L \cdot{} U_0^2}{\left(R_i + R_L \right)^2} [/mm]
die Formel
[mm](4)[/mm] [mm]P_{max} = \bruch{U_0^2}{4 * \hat{R_{L}}}[/mm]
Gleichung 2 steht in meiner Tabellenkalkulation. Für jedes [mm] U_{KL} [/mm] und jedes [mm] R_L [/mm] habe ich dann den entsprechenden P-Wert berechnen lassen und somit den blauen Funktionsgraphen erhalten, wie ich ihn im ersten Dokument eingefügt habe.
Ich weiß, dass man für einen bestimmten Widerstandswert [mm] \hat{R_{L}} [/mm] konsequenterweise [mm] P_{max} [/mm] erhält!
In der Auswertung von
[mm]P_{max} \left( \hat{R_{L}} \right)[/mm] habe ich also aus der Tabellenkalkulation [mm] \hat{R_{L}} [/mm] abgelesen!
Ich möchte jedoch wissen ob es möglich ist [mm] \hat{R_{L}} [/mm] rechnerisch exakt zu bestimmen! |
Ist es möglich [mm] \hat{R_{L}} [/mm] exakt rechnerisch bestimmen? Wenn ja, wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Mo 22.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch selbst aus der ableitung von [mm] P(R_L) [/mm] die maximalstelle bei [mm] R_L=R_i [/mm] rausgekriegt, Also kennst du sie bei bekanntem [mm] R_i, [/mm] oder du kannst [mm] R_i [/mm] ablesen, wenn du das max bestimmst. Ich glaub ich hab die frage noch immer nicht verstanden.
Was du anders damit meinst [mm] R_L [/mm] exakt zu bestimmen kann ich mir nicht vorstellen. Im ersten post schreibst du doch, du hast ein oder mehrere bekannte [mm] R_l [/mm] mit denen du experimentierst?
Bitte schildere doch genau, was dein problem ist:
a) [mm] R_i [/mm] oder [mm] R_L [/mm] experimentell über eine leistungsmessung bestimmen
b) theoretisch zu bestimmen bei welchem [mm] R_L [/mm] (bei gegebenem [mm] R_I) [/mm] man maximale leistung hat
c) noch was anderes.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Mo 22.08.2011 | | Autor: | murmel |
Wenn dem so ist, dass mit [mm] R_i [/mm] auch [mm] R_L [/mm] gegeben ist (weil ich [mm] R_i [/mm] ablesen kann), dann kann doch aber meine Gleichung für [mm] P_{max}
[/mm]
[mm] P_{max} = \bruch{U_0^2}{4 * R_L}[/mm]
nicht stimmen! Der Maximalwert für P wird erreicht, wenn [mm] R_L [/mm] gegen Null geht. Das ist ja dann völliger Schwachsinn.
Tut mir Leid leduart, ich denke ich bin schwachsinnig oder derjenige der diese Versuchvorschrift entwickelt hat.
Ich geb's auf... .
Nochmals danke für die Hilfe!
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