Extremwert bestimmen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Sa 10.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
| Aufgabe | Gegeben: [mm] f(x)=x-1+\bruch{4}{(x-1)}
[/mm]
a) Bestimmen Sie Polstellen und Nullstellen
b) Berechnen fie f'(x) und f''(x)
c) Bestimmen sie die relativen Extrema von f(x) und prüfen Sie die Bedingung 2. Ordnung.
d)Besitzt f(x) Wendepunkte?
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Hallo, mir wurde letztes Mal sehr engagiert geholfen. Es wäre sehr nett wenn ihr mir sagen könntet ob ich bis hier richtig bin.
a) Nullstelle: [mm] -(x-1)=\bruch{4}{(x-1} \gdw -(x-1)^{2}=4
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}+1=4 \gdw x=\wurzel{3}
[/mm]
Polstelle: 1-1=0 also [mm] x_{0}=1
[/mm]
b)f'(x)= [mm] 1+\bruch{(x-1)-4}{(x-1)^{2}}
[/mm]
f''(x)= [mm] \bruch{(x-1)-4*2x-2}{(x-1)^{4}}
[/mm]
Dann muss ich doch die erste Ableitung nach Null auflösen und das Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen.
Stimmt das?
Vielen dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Sa 10.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Danke für die schnelle Antwort:
Ist f'(x) dann:
[mm] x^{2}+8x-9 [/mm] ?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Nein, das stimmt nicht. Was ist denn mit dem Term [mm] $(x-1)^{-1}$ [/mm] geschehen?
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:31 Sa 10.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
[mm] (x-1)+4*(x-1)^{-1} [/mm] da habe ich * [mm] x^{2} [/mm] für alle [mm] x\not=0 [/mm] genommen, im Buch wurde das bei einer Aufgabe gemacht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> [mm](x-1)+4*(x-1)^{-1}[/mm] da habe ich * [mm]x^{2}[/mm] für alle [mm]x\not=0[/mm]
Wieso das? Wir wollen hier die Ableitung bilden. Da kann ich doch nicht einfach mit einem willkürlichen Term (der mir hier noch nicht mal was bringt) multiplizieren.
> genommen, im Buch wurde das bei einer Aufgabe gemacht.
Da ging es bestimmt auch um etwas anderes (bei einer anderen Aufgabe).
Ansonsten: das Buch so wie es ist wahlweise aus dem Fenster oder in den Müll werfen!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Sa 10.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Da ging es auch um Extremstellen. Ah nein ok, das wurde nach der ersten Ableitung gemacht. Ist die Ableitung so fertig $ [mm] (x-1)+4\cdot{}(x-1)^{-1} [/mm] $ ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Sa 10.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Da ging es auch um Extremstellen. Ah nein ok, das wurde nach der ersten Ableitung gemacht. Ist die Ableitung so fertig $ [mm] (x-1)+4\cdot{}(x-1)^{-1} [/mm] $ ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Natürlich sind wir hier mit der Ableitung nicht fertig, da wir noch gar nicht mit dem Ableiten angefangen haben.
Wie ich oben deutlich und eindeutig schrieb, handelt es sich bei $f(x) \ = \ [mm] x-1+4*(x-1)^{-1}$ [/mm] immer noch um die Ausgangsfunktion $f(x)_$ . Hier wurde lediglich etwas umgeformt, um schneller ableiten zu können.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Sa 10.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Sorry ich meinte fertig mit dem Umformen.
Also f'(x)= [mm] 1+4*(-1)*(x-1)^{-2}+(x-1)^{-1} [/mm] ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Sa 10.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
bzw. f'(x)= [mm] -3(x-1)^{-2}+(x-1)^{-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Sa 10.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sorry ich meinte fertig mit dem Umformen.
> Also f'(x)= [mm]1+4*(-1)*(x-1)^{-2}+(x-1)^{-1}[/mm] ?
wie leitest du denn ab? woher kommt der letzte Term? so ist es falsch. die Zusammenfassung in der nächsten Frage ist ganz schlimm, man kann doch nicht 1-4*(irgendwas) zu -3*(igendwas) zusammen fassen?
Also machs was langsamer und begründe jeden Schritt, den du machst vor dir selbst mit ner Regel!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Sa 10.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
OK, dann ist Produktregel wohl falsch hier.
f'(x)= 1- [mm] \bruch{1}{(x-1)}^{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Sa 10.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Falsch geschrieben,
f'(x)= 1- $ [mm] \bruch{1}{(x-1)^{2}} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Sa 10.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo SB
Mit Riesenschritten näherst du dich langsam dem Ziel. aber du warst zu schnell wo blieb die arme 4?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Sa 10.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
1- $ [mm] \bruch{1}{(4x-4)^{2}} [/mm] $
??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Sa 10.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
was gibt 4x abgeleitet?
was [mm] 4*x^2
[/mm]
was [mm] 4*(x-1)^{-1}
[/mm]
Deine Antwort ist falsch, wie schnell sie kam, sagt, dass du nicht nachgedacht hast sondern nur mal was probiert!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Sa 10.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
was gibt 4x abgeleitet? = 4
was $ [mm] 4\cdot{}x^2 [/mm] $ = 8x
was $ [mm] 4\cdot{}(x-1)^{-1} [/mm] $ [mm] -4(x-1)^{-2}
[/mm]
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Hallo SBGoePH,
> was gibt 4x abgeleitet? = 4
> was [mm]4\cdot{}x^2[/mm] = 8x
> was [mm]4\cdot{}(x-1)^{-1}[/mm] [mm]-4(x-1)^{-2}[/mm]
Das stimmt alles. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 So 11.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Ok danke.
Dann ist die Ableitung von [mm] x-1+\bruch{4}{x-1}:
[/mm]
f'(x)= $ [mm] -3(x-1)^{-2} [/mm] $
und f''(x) [mm] 6(x-1)^{-3} [/mm] ?
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Hallo SBGoePH,
> Ok danke.
>
> Dann ist die Ableitung von [mm]x-1+\bruch{4}{x-1}:[/mm]
> f'(x)= [mm]-3(x-1)^{-2}[/mm]
> und f''(x) [mm]6(x-1)^{-3}[/mm] ?
>
Die erste Ableitung musst Du noch mal nachrechnen.
Die zweite Ableitung stimmt bis auf einen Faktor.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 So 11.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Ist die Ableitung nicht: $ [mm] x-1+\bruch{4}{x-1}: [/mm] $
> f'(x)= $ 1+ [mm] -4(x-1)^{-2} [/mm] $ also wird x-1 nicht zu 1?
>
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Hallo SBGoePH,
>
> Ist die Ableitung nicht: [mm]x-1+\bruch{4}{x-1}:[/mm]
> > f'(x)= [mm]1+ -4(x-1)^{-2}[/mm] also wird x-1 nicht zu 1?
Doch
> >
>
Jetzt stimmt die erste Ableitung.
[mm]f'(x)=1-4(x-1)^{-2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 11.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Ah Ok,
$ 1+ [mm] -4(x-1)^{-2} [/mm] $
dann ist f''(x)= 8(x-1) ^{-3}
Aber kann man denn mit negativen Hochzahlen die relativen Extrema berechnen?
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Hallo SBGoePH,
> Ah Ok,
> [mm]1+ -4(x-1)^{-2}[/mm]
> dann ist f''(x)= 8(x-1) ^{-3}
>
> Aber kann man denn mit negativen Hochzahlen die relativen
> Extrema berechnen?
In diesen Fall ja.
Aus der Gleichung
[mm]1-4(x-1)^{-2}=0[/mm]
sind dann die Lösungen zu bestimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 So 11.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Ok, werde ich gleich probieren. Eine kleine Frage zwischendurch. Ist die Ableitung von
f(x)= x-6 + [mm] \bruch{5}{x}: [/mm]
f'(x)= 1+5 also 6 ?
oder was ich glaube: f'(x)= [mm] -5x^{-2}
[/mm]
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Hallo SBGoePH,
> Ok, werde ich gleich probieren. Eine kleine Frage
> zwischendurch. Ist die Ableitung von
> f(x)= x-6 + [mm]\bruch{5}{x}:[/mm]
>
> f'(x)= 1+5 also 6 ?
>
> oder was ich glaube: f'(x)= [mm]-5x^{-2}[/mm]
Richtig ist hier: [mm]f'\left(x\right)=1-5*x^{-2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 So 11.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Super, danke. Was wäre jetzt der nächste Schritt um die relativen Extrema und Wendepunkte bei $ [mm] f'\left(x\right)=1-5\cdot{}x^{-2} [/mm] $ zu bestimmen? Muss ich die Hauptminoren berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 So 11.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
willst du die Extrema von f' oder von f?
wenn u die von f(x) willst musst du die Nullstellen von f#(x) berechnen, also [mm] 1-5/x^2=0
[/mm]
für die Wendepunkte f''(x)=0
was du mit "Hauptminoren" meinst weiss ich nicht!
Warum bist du plötzlich bei ner anderen fkt, hast du die erste fertig diskutiert?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 So 11.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Ne zu der hier hatte ich nur ne Zwischenfrage. Gut dann zur ersten. Zu bestimmen sind die relativen extrema von f(x)= [mm] x-1+\bruch{4}{x-1} [/mm] und anschliessend ist die Bedingung 2. Ordnung zu prüfen.
Also muss ich doch erstmal die erste Ableitung, also 1+ [mm] (-4)(x-1)^{-2} [/mm] nach x auflösen, richtig?
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Hallo SBGoePH,
> Ne zu der hier hatte ich nur ne Zwischenfrage. Gut dann zur
> ersten. Zu bestimmen sind die relativen extrema von f(x)=
> [mm]x-1+\bruch{4}{x-1}[/mm] und anschliessend ist die Bedingung 2.
> Ordnung zu prüfen.
> Also muss ich doch erstmal die erste Ableitung, also 1+
> [mm](-4)(x-1)^{-2}[/mm] nach x auflösen, richtig?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 So 11.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Danke. Ich blicke noch nicht unter welchen Umständen man z.B. den ganzen Term hoch 2 nehmen kann um negative Hochzahlen auszugleichen. Ginge das hier oder muss man die hoch -2 so bleiben lassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 So 11.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast [mm] 1-\bruch{1}{(x-1)^2}=0
[/mm]
Wenn du das quadrieren würdest würde es erst recht schrecklich!
Wenn du ne Gleichung hast mit Nennern, dann ist das "Rezept" immer beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner multiplizieren, hier also mit [mm] (x-1)^2.
[/mm]
Dann hat man erst mal alle Nenner wg und ein einfacheres Problem.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 So 11.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Ok, also:
f'(x)= 1- [mm] \bruch{4}{(x-1)^{2}}=0 [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 1=\bruch{4}{(x-1)^{2}} [/mm] beide seiten mal [mm] (x-1)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (x-1)^{2}=4
[/mm]
Stimmt das bis dahin?
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Hallo SPGoePH,
> Ok, also:
>
> f'(x)= 1- [mm]\bruch{4}{(x-1)^{2}}=0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]1=\bruch{4}{(x-1)^{2}}[/mm] beide seiten mal [mm](x-1)^{2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm](x-1)^{2}=4[/mm]
>
> Stimmt das bis dahin?
Ja!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 So 11.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
OK dann:
$ [mm] (x-1)^{2}=4 [/mm] $
Binomische Formel: [mm] x^{2}-2x-3
[/mm]
Pq Formel:
[mm] \bruch{2}{2} \pm \wurzel{(-\bruch{2}{2})^{2}+3}= [/mm]
[mm] 1+\wurzel{4}= [/mm] 3
und
[mm] 1-\wurzel{4}= [/mm] 1
Ist das korrekt?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 So 11.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wirklich bitte was langsamer und gründlicher!
[mm] 1-2\ne1!!!
[/mm]
pq formel braucht man auch nicht!
[mm] (x-1)^2=4
[/mm]
folgt [mm] x-1=\pm4 [/mm] !
gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 So 11.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
$ [mm] (x-1)^2=4 [/mm] $
folgt $ [mm] x-1=\pm4 [/mm] $ !
Wird von 4 keine Wuryel genommen? $ [mm] x-1=\pm2 [/mm] $ ?
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Hallo, auch von 4 die Wurzel ziehen, du bekommst also [mm] x_1=3 [/mm] und [mm] x_2=-1, [/mm] Steffi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Mo 12.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Ok mit pq hatte ich das gleiche raus, aber so ist einfacher.
Dann muss ich beide Werte (3,-1) in die 2. Ableitung einsetzen:
f''(x)= [mm] 8(x-1)^{-3}
[/mm]
[mm] \bruch{8}{(3-1)^{3}} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{8}{8} \gdw [/mm] 1
und
[mm] \bruch{8}{(-1-1)^{3}} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{8}{-8} [/mm] = -1
Habe ich dann meine relativen Extrema bei 1 und -1 ?
Danke
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Hallo!
> Ok mit pq hatte ich das gleiche raus, aber so ist
> einfacher.
>
> Dann muss ich beide Werte (3,-1) in die 2. Ableitung
> einsetzen:
> f''(x)= [mm]8(x-1)^{-3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{8}{(3-1)^{3}}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{8}{8} \gdw[/mm] 1
>
> und
>
> [mm]\bruch{8}{(-1-1)^{3}}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{8}{-8}[/mm] = -1
Die Berechnungen sind richtig.
Verwende aber statt [mm] \gdw [/mm] das Gleichheitszeichen "=".
> Habe ich dann meine relativen Extrema bei 1 und -1 ?
Nein.
Durch $f'(x) = 0$ weißt du, dass deine Extremstellen bei [mm] $x_{1} [/mm] = 3$ und [mm] $x_{2} [/mm] = -1 $ liegen.
Durch Einsetzen in die zweite Ableitung überprüfst du, ob es sich um Maxima oder Minima handelt.
Du hast erhalten:
[mm] $f''(x_{1}) [/mm] = f''(3) = 1 > 0$,
also liegt bei [mm] x_{1} [/mm] ein relatives Minimum vor.
Du hast erhalten:
[mm] $f''(x_{2}) [/mm] = f''(-1) = -1 < 0$,
also liegt bei [mm] x_{2} [/mm] ein relatives Maximum vor.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Mo 12.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Danke. Jetzt steht in der Aufgabe, man soll die Bedingung 2. Ordnung überprüfen. Ist damit die Hesse Matrix gemeint oder was?
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Hallo,
du hast gerade die Bedingung 2. Ordnung geprüft, indem du in die zweite Ableitung eingesetzt hast und die Schlussfolgerungen gezogen hast, die ich dir hingeschrieben habe.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mo 12.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Ah Ok, Hesse Matrix ist nur bei mehreren Variablen oder was?
Letzte Teil dieser Aufgabe ist Wendepunkte prüfen. Dafür muss ich die zweite Ableitung nach 0 auflösen und und die dritte einsetzen richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mo 12.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
[mm] 8*(x-1)x^{-3} [/mm] ist nicht lösbar glaube ich. Also kein Wendepunkt?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:17 Mo 12.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
$ [mm] 8\cdot{}(x-1)x^{-3}=0 [/mm] $ ist nicht lösbar glaube ich. Also kein Wendepunkt?
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Hallo, du untersuchst
[mm] 0=\bruch{8}{(x-1)^{3}}
[/mm]
Glauben hin oder her, du hast den richtigen Glauben, es gibt keine Wendepunkte, aber leider glaubt die Mathematik nicht, die Mathematik möchte saubere Begründungen, die solltest du finden,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mo 12.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Ich würde nur sagen, dass die Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung Null ist. Dies ist hier nicht der Fall, also existiert kein Wendepunkt.
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Hallo SBGoePH,
> Ich würde nur sagen, dass die Bedingung für einen
> Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung Null ist. Dies
> ist hier nicht der Fall, also existiert kein Wendepunkt.
So ist es.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Mo 12.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Ok, dann vielen Dank für die Hilfe erstmal.
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Wie kommst Du hier auf den Zähler des Bruches?
