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| Aufgabe | Die Wirkung W eines Medikamentes auf einen Patienten nach t Stunden nach der Einnahme kann durch die Funktion
[mm] W(t)\,=\,c\,t^2\,e^{-t}\,,\quad t\,\geq\,0
[/mm]
beschrieben werden, wobei die Konstante [mm] c\,>\,0 [/mm] von der Anfangsdosis abhängt.
Bestimmen Sie für c=5 die Zeit [mm] t_m, [/mm] zu der die Wirkung maximal ist. |
Hallo.
Ich soll die beschriebene Aufgabe berechnen.
Mein Ansatz bisher:
[mm] W(t)=5*t^2+e^{-t}, [/mm] t>0
Da nach dem Maxima gefragt ist, muss die 1.Ableitung 0 sein.
1.W'(t)=0
[mm] W'(t)=10t*e^{-t}-e^{-t}*5t^2
[/mm]
[mm] =e^{-t}(10t-5t^2)=0
[/mm]
Da [mm] e^{-t} [/mm] nicht 0 werden kann, dafür aber die Klammer gilt es [mm] t_{m} [/mm] aus der Klammer zu berechnen.
Damit habe ich als Nullstellen [mm] t_{1}=0 t_{2}=-2
[/mm]
Da [mm] t\ge0 [/mm] gelten muss kann nur [mm] t_{1} [/mm] als [mm] t_{m} [/mm] berücksichtigt werden.
Für ein Maxima muss ferner gelten W''(t)<0.
Also (W'(t))'=W''(t)
Produktregel und Kettenregel:
[mm] (W'(t))'=(10t*e^{-t}-e^{-t}*5t^2)'= (10t*e^{-t})'-(e^{-t}*5t^2)'
[/mm]
[mm] W''(t)=(10t*-e^{-t}+e^{-t}*10)-(-e^{-t}*5t^2+10t*e^{-t})
[/mm]
[mm] =(e^{-t}*(-10t+10))-(e^{-t}*(-5t^2+10t))
[/mm]
[mm] =e^{-t}*[(-10t+10)-(-5t^2+10t)]
[/mm]
[mm] =e^{-t}*(5t^2-20t+10)
[/mm]
Nur würde hierbei rauskommen, dass W''(0)>0 und das ist kein Maxima.
Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Ist denn mein Lösungsansatz von der Denkweise überhaupt richtig?
Viele Grüße und danke im Voraus.
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Hi Masseltof,
wenn $10t - [mm] 5*t^{2} [/mm] = 0$ sind, [mm] $t_{1}=0$ [/mm] (wie du richtig berechnet hast) und [mm] $t_{2}=2$.
[/mm]
[mm] $10*2-5*2^{2} [/mm] = 20 - 5*4 = 20 -20 = 0$
Wahrscheinlich ist dieser (kleine) Rechenfehler Schuld an deinem Ergebnis.
Ciao
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