Extremwert einer E-Fkt < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Raffel |
Ich muss einen Extremwert bestimmen und bekomme nichts sinnvolles heraus:
[mm]c>=f(x)/g(x)[/mm]
[mm]f(x) = x^{-2}e^{-\bruch{1}{x}} , x>0[/mm]
[mm]g(x) = \begin{cases} \bruch{1}{e}, & \mbox{falls } x <= \bruch{e}{2} \\ \bruch{e}{4}x^{-2}, & \mbox{falls } x > \bruch{e}{2} \end{cases}[/mm]
ich mach mich ran c zu berechnen und bekomme:
[mm]c >= \begin{cases} x^{-2}e^{1-\bruch{1}{x}}, & \mbox{falls } x <= \bruch{e}{2} \\ 4e^{-1-\bruch{1}{x}, & \mbox{falls } x > \bruch{e}{2} \end{cases}[/mm]
mein problem liegt bei den ableitungen... bei beiden kommen nur unsinnige ergebnisse heraus wenn ich gleich null setze...
[mm] c' = -2x^{-3}e^{1-\bruch{1}{x}} - x^{-4}e^{1-\bruch{1}{x}} [/mm]
da kann ich dann noch den e-term rausziehen, und wenn ich das geklammerte dann gleich null setze kommt bei mir -1/2 (obwohl ja x>0 sein muss :/)
tja und im anderen fall siehts auch nicht schöner aus:
[mm] c' = 4x^{-2}e^{-1-x^{-1}} [/mm]
e-teil kann nicht null werden und x^-2 nur bei x=0
kann mir jmd sagen was ich falsch gemacht habe? bzw. wo?
Danke im Voraus
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
PPS: Die Aufgabe ist zwar aus einer Stochastik-Vorlesung, habe sie jedoch hier gestellt, da es meiner Meinung nach ja nur ein Problem der Differentialrechnung ist...
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Hi, Raffel,
> [mm]c >= \begin{cases} x^{-2}e^{1-\bruch{1}{x}}, & \mbox{falls } x <= \bruch{e}{2} \\ 4e^{-1-\bruch{1}{x}, & \mbox{falls } x > \bruch{e}{2} \end{cases}[/mm]
>
> mein problem liegt bei den ableitungen... bei beiden kommen
> nur unsinnige ergebnisse heraus wenn ich gleich null
> setze...
>
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> [mm]c' = -2x^{-3}e^{1-\bruch{1}{x}} - x^{-4}e^{1-\bruch{1}{x}}[/mm]
Da muss das Rechenzeichen "+" sein, denn beim Nachdifferenzieren ergibt [mm] (1-\bruch{1}{x}) [/mm] den (positiven!) Term [mm] \bruch{1}{x^{2}}.
[/mm]
Und dann kriegst Du beim Nullsetzen natürlich x=+0,5.
(Dort liegt übrigens einen Hochpunkt!)
> tja und im anderen fall siehts auch nicht schöner aus:
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> [mm]c' = 4x^{-2}e^{-1-x^{-1}}[/mm]
> e-teil kann nicht null werden
> und x^-2 nur bei x=0
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] x^{-2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] und kann daher GAR NICHT 0 werden !!!
Folgerung: Wenn es noch (also außer bei x=0,5) einen EW gibt, dann muss er auf der Verknüpfungsstelle [mm] x=\bruch{e}{2} [/mm] liegen.
Mit Hilfe der Grenzwerte der 1. Ableitung von links gegen x= [mm] \bruch{e}{2}
[/mm]
(<0) und von rechts (>0) ergibt sich dann: Tiefpunkt bei x= [mm] \bruch{e}{2}.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Raffel |
Großes Dankeschön.... da war ich mal wieder zu unachtsam
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