Extremwert mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:10 Mo 11.06.2007 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | | Die Ebene 2y+4z-5=0 schneidet den Kegel [mm] z^{2}=4(x^{2}+y^{2}) [/mm] im [mm] \IR^{3} [/mm] längs einer Kurve. Welcher Punkt dieser Kurve liegt dem ursprung am nächsten? Lösen sie die Aufgabe mit der Lagrange'schen Multiplikatorenmethode. |
Hallo.
Ich bin soweit, dass ich alle meine benötigten Gleichungen aufgestellt habe, kann aber das Gleichungssystem nicht auflösen. Da kommen dann immer Punkte raus, die dann eine Gleichung doch nicht erfüllen. Also ich habs so gemacht:
Zielfunktion:
[mm] h(x)=\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
[/mm]
Nebenbedingung:
[mm] f:\IR^{3}\to\IR^{2}
[/mm]
mit
[mm] f(x,y,z):=\vektor{2y+4z-5 \\ 4(x^{2}+y^{2})-z^{2}}=\vektor{0 \\ 0} [/mm] (*)
Die Langrange'sche Multiplikatorenmethode besagt dann:
Es gibt [mm] \lambda\in\IR^{2}, [/mm] so dass:
[mm] grad(h(a))=\lambda_{1}grad(f_{1}(a))+\lambda_{2}grad(f_{2}(a))
[/mm]
Die Gradienten hab ich jetzt mal hergeleitet und komme auf folgendes:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\vektor{x \\ y \\ z}=\lambda_{1}\vektor{0 \\ 2 \\ 4}+\lambda_{2}\vektor{8x \\ 8y \\ -2z} [/mm] (**)
Jetzt habe ich 5 Gleichungen: (*) und (**) mit den 5 Unbekannten.
Jetzt komm ich beim Lösen dieser Gleichungen nicht weiter.
Die 1. Koordinatenrichtung von (**) besagt ja:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=8\lambda_{2}
[/mm]
In die 2. Koordinatenrichtung bedeutet das allerdings [mm] \lambda_{1}=0, [/mm] worauf dann irgendwie alles andere auch 0 wird.
Das stimmt dann allerdings nicht mehr mit (*) überein.
Hat jemand eine Idee, wo der Fehler liegen könnte?
Kann es vielleicht sein, dass eine Vorraussetzung nicht erfüllt ist und die Aufgabe unlösbar wird?
Zum Beispiel soll Rang(f'(a))=m sein für alle [mm] a\in [/mm] U (was auch immer U auch ist, [mm] \subseteq\IR^{3}.
[/mm]
Gilt allerdings nicht, wenn x=0 und z=-8y
Bitte helft mir.
Schönen Gruß
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Mo 11.06.2007 | | Autor: | max3000 |
OK ich habs grad selber rausbekommen.
Nach (**) 1. Koordinatenrichtung kann ja auch der Fall x=0 eintreten. Damit komm ich auf das Ergebnis [mm] E_{min}=(0,\bruch{1}{2},1)
[/mm]
Grüße
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:28 Di 12.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Da du ja selber die Lösung ermittelt hast, nehme ich diese Diskussion mal aus den offenen Fragen heraus
Marius
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Lustigerweise kann man die Aufgabe auch ohne das - hier zu übende - Verfahren lösen, einfach indem man sich Kegel und Ebene veranschaulicht. Es wird dann schnell klar, dass man die Lösung in der y-z-Ebene suchen muss. Dann hat man nur noch den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen (und die andere mögliche Lösungen auszuschließen) - eine Sache von 5 Minuten.
War aber hier nicht gefragt und ihr sollt / wollt ja was lernen ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Di 12.06.2007 | | Autor: | max3000 |
Da muss ich dir wiedersprechen.
Warum in der y-z-Ebene?
Der hätte doch auch wo anders liegen können. Ebene und Kreiskegel bilden doch eine Ellipse, wo auch andere Punkte dafür in Frage kommen.
Wenn ich mich irre, würde mich echt mal die Begründung interessieren.
Gruß
Max
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Hoffentlich bekomme ich das wieder zusammen, hab's im Kopf gemacht...
Mal dir mal den Kegel und die Ebene so auf, dass dir die x-Achse zugewandt ist und du direkt auf die y-z-Ebene schaust. Von der Ebene siehst du dann nur die Schnittgerade mit der y-z-Ebene. Der eine der beiden Schnittpunkte zwischen Kegel und dieser Geraden hat minimalen Abstand zum Ursprung, denn alle weiteren Schnittpunkte zwischen Ebene und Kegel haben einen größeren z-Wert und der Abstand hängt in diesem Fall nur vom z-Wert ab.
Schaut man sich nur die Projektion auf die y-z-Ebene an, dann sind y- und z-Wert des ersten Schnittpunktes zwischen Ebene und Kegel schon dadurch bestimmt (der x-Wert lässt sich daraus berechnen).
Aus der Zeichnung sieht man aber auch, dass der Abstand zum Ursprung dann minimal ist, wenn [mm]x^2[/mm] minimal, also 0.
Hoffe, du wirst aus der etwas wirren Erklärung schlau ;)
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