Extremwert mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Funktion $f(x,y,z)=(x+y+z)^2$ auf dem Ellipsoid $E=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3:x^2+2y^2+3z^2=1\}$ hinsichtlich lokaler Minima und Maxima. Zeigen sie, dass siese lokalen Extrema auch global sind. |
Hallo,
Also ich hab mir gedacht ich mach das mit der Lagrange-Methode, also:
$L(x,y,z,v)=f(x,y,z)+vg(x,y,z)$
mit der Nebenbedingung:
$g(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-1$
Also ist $L(x,y,z,v)=(x+y+z)^2+v(x^2+2y^2+3z^2-1)$
Jetzt hab ich ja die Bedingungen:
$\frac{\partial}{\partial x}L=\frac{\partial}{\partial y}L=\frac{\partial}{\partial z}L=\frac{\partial}{\partial v}L=0$
Also:
1. $\frac{\partial}{\partial x}L= 2x+2y+2z+2xv=0$
2. $\frac{\partial}{\partial y}L= 2x+2y+2z+4yv=0$
3. $\frac{\partial}{\partial z}L= 2x+2y+2z+6zv=0$
4. $\frac{\partial}{\partial v}L= x^2+2y^2+3z^2-1=0$
Dann hab ich 1.-2. gerechnet:
$=> x=2y$
dann hab ich 3.-2. gerechnet:
$=> z=\frac{2}{3}y$
dann hab ich x und z in 2. gesetzt.
$=> y= \sqrt{\frac{3}{22}}$
dann geprüft (in 4. eingesetzt) und es war 0.
und dann hab ich x,y,z in 1. engesetzt:
$=> v=\frac{11}{3}}$
War das richtig was ich gerechnet habe?
Macht man das so?
MFG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 So 07.07.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Untersuchen Sie die Funktion [mm]f(x,y,z)=(x+y+z)^2[/mm] auf dem
> Ellipsoid [mm]E=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3:x^2+2y^2+3z^2=1\}[/mm]
> hinsichtlich lokaler Minima und Maxima. Zeigen sie, dass
> siese lokalen Extrema auch global sind.
> Hallo,
> Also ich hab mir gedacht ich mach das mit der
> Lagrange-Methode, also:
> [mm]L(x,y,z,v)=f(x,y,z)+vg(x,y,z)[/mm]
> mit der Nebenbedingung:
> [mm]g(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-1[/mm]
>
> Also ist [mm]L(x,y,z,v)=(x+y+z)^2+v(x^2+2y^2+3z^2-1)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt hab ich ja die Bedingungen:
> [mm]\frac{\partial}{\partial x}L=\frac{\partial}{\partial y}L=\frac{\partial}{\partial z}L=\frac{\partial}{\partial v}L=0[/mm]
>
> Also:
> 1. [mm]\frac{\partial}{\partial x}L= 2x+2y+2z+2xv=0[/mm]
> 2.
> [mm]\frac{\partial}{\partial y}L= 2x+2y+2z+4yv=0[/mm]
> 3.
> [mm]\frac{\partial}{\partial z}L= 2x+2y+2z+6zv=0[/mm]
> 4.
> [mm]\frac{\partial}{\partial v}L= x^2+2y^2+3z^2-1=0[/mm]
>
> Dann hab ich 1.-2. gerechnet:
> [mm]=> x=2y[/mm]
>
> dann hab ich 3.-2. gerechnet:
> [mm]=> z=\frac{2}{3}y[/mm]
>
> dann hab ich x und z in 2. gesetzt.
> [mm]=> y= \sqrt{\frac{3}{22}}[/mm]
Hast du x und z in 4. eingesetzt?
Bei 2. kommt doch noch ein störendes v vor.
[mm]=> y= \pm \sqrt{\frac{3}{22}}[/mm]
>
> dann geprüft (in 4. eingesetzt) und es war 0.
>
> und dann hab ich x,y,z in 1. engesetzt:
> [mm]=> v=\frac{11}{3}}[/mm]
Gibt aber $ v = [mm] -\frac{11}{6}$
[/mm]
>
> War das richtig was ich gerechnet habe?
Alle Ergebnisse für x, y, z und v müssen die Gleichungen 1. - 4. erfüllen.
> Macht man das so?
Ja, aber wo sind die Extrema?
>
> MFG
Gruß
meili
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> Hallo,
>
> > Untersuchen Sie die Funktion [mm]f(x,y,z)=(x+y+z)^2[/mm] auf dem
> > Ellipsoid [mm]E=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3:x^2+2y^2+3z^2=1\}[/mm]
> > hinsichtlich lokaler Minima und Maxima. Zeigen sie, dass
> > siese lokalen Extrema auch global sind.
> > Hallo,
> > Also ich hab mir gedacht ich mach das mit der
> > Lagrange-Methode, also:
> > [mm]L(x,y,z,v)=f(x,y,z)+vg(x,y,z)[/mm]
> > mit der Nebenbedingung:
> > [mm]g(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-1[/mm]
> >
> > Also ist [mm]L(x,y,z,v)=(x+y+z)^2+v(x^2+2y^2+3z^2-1)[/mm]
>
> >
> > Jetzt hab ich ja die Bedingungen:
> > [mm]\frac{\partial}{\partial x}L=\frac{\partial}{\partial y}L=\frac{\partial}{\partial z}L=\frac{\partial}{\partial v}L=0[/mm]
>
> >
> > Also:
> > 1. [mm]\frac{\partial}{\partial x}L= 2x+2y+2z+2xv=0[/mm]
> > 2.
> > [mm]\frac{\partial}{\partial y}L= 2x+2y+2z+4yv=0[/mm]
> > 3.
> > [mm]\frac{\partial}{\partial z}L= 2x+2y+2z+6zv=0[/mm]
> > 4.
> > [mm]\frac{\partial}{\partial v}L= x^2+2y^2+3z^2-1=0[/mm]
>
> >
> > Dann hab ich 1.-2. gerechnet:
> > [mm]=> x=2y[/mm]
>
> >
> > dann hab ich 3.-2. gerechnet:
> > [mm]=> z=\frac{2}{3}y[/mm]
>
> >
> > dann hab ich x und z in 2. gesetzt.
> > [mm]=> y= \sqrt{\frac{3}{22}}[/mm]
> Hast du x und z in 4.
> eingesetzt?
> Bei 2. kommt doch noch ein störendes v vor.
Ja stimmt hab es in 4. eingesetzt.
> [mm]=> y= \pm \sqrt{\frac{3}{22}}[/mm]
> >
> > dann geprüft (in 4. eingesetzt) und es war 0.
> >
> > und dann hab ich x,y,z in 1. engesetzt:
>
> > [mm]=> v=\frac{11}{3}}[/mm]
> Gibt aber [mm]v = -\frac{11}{6}[/mm]
oh verrechnet :D
> >
> > War das richtig was ich gerechnet habe?
> Alle Ergebnisse für x, y, z und v müssen die Gleichungen
> 1. - 4. erfüllen.
> > Macht man das so?
> Ja, aber wo sind die Extrema?
Das ist ne gute frage ;)
Genau das versteh ich jetzt nciht. Und woher weiß ich ob es ein maxima oder Minima ist und ob es lokal oder global ist?
> >
> > MFG
>
> Gruß
> meili
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Hallo HappyHaribo,
> > Hallo,
> >
> > > Untersuchen Sie die Funktion [mm]f(x,y,z)=(x+y+z)^2[/mm] auf dem
> > > Ellipsoid [mm]E=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3:x^2+2y^2+3z^2=1\}[/mm]
> > > hinsichtlich lokaler Minima und Maxima. Zeigen sie, dass
> > > siese lokalen Extrema auch global sind.
> > > Hallo,
> > > Also ich hab mir gedacht ich mach das mit der
> > > Lagrange-Methode, also:
> > > [mm]L(x,y,z,v)=f(x,y,z)+vg(x,y,z)[/mm]
> > > mit der Nebenbedingung:
> > > [mm]g(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-1[/mm]
> > >
> > > Also ist [mm]L(x,y,z,v)=(x+y+z)^2+v(x^2+2y^2+3z^2-1)[/mm]
> >
> > >
> > > Jetzt hab ich ja die Bedingungen:
> > > [mm]\frac{\partial}{\partial x}L=\frac{\partial}{\partial y}L=\frac{\partial}{\partial z}L=\frac{\partial}{\partial v}L=0[/mm]
>
> >
> > >
> > > Also:
> > > 1. [mm]\frac{\partial}{\partial x}L= 2x+2y+2z+2xv=0[/mm]
> >
> > 2.
> > > [mm]\frac{\partial}{\partial y}L= 2x+2y+2z+4yv=0[/mm]
> > > 3.
> > > [mm]\frac{\partial}{\partial z}L= 2x+2y+2z+6zv=0[/mm]
> > > 4.
> > > [mm]\frac{\partial}{\partial v}L= x^2+2y^2+3z^2-1=0[/mm]
> >
>
> > >
> > > Dann hab ich 1.-2. gerechnet:
> > > [mm]=> x=2y[/mm]
> >
> > >
> > > dann hab ich 3.-2. gerechnet:
> > > [mm]=> z=\frac{2}{3}y[/mm]
> >
> > >
> > > dann hab ich x und z in 2. gesetzt.
> > > [mm]=> y= \sqrt{\frac{3}{22}}[/mm]
> > Hast du x und z in 4.
> > eingesetzt?
> > Bei 2. kommt doch noch ein störendes v vor.
> Ja stimmt hab es in 4. eingesetzt.
> > [mm]=> y= \pm \sqrt{\frac{3}{22}}[/mm]
> > >
> > > dann geprüft (in 4. eingesetzt) und es war 0.
> > >
> > > und dann hab ich x,y,z in 1. engesetzt:
> >
> > > [mm]=> v=\frac{11}{3}}[/mm]
> > Gibt aber [mm]v = -\frac{11}{6}[/mm]
>
> oh verrechnet :D
> > >
> > > War das richtig was ich gerechnet habe?
> > Alle Ergebnisse für x, y, z und v müssen die
> Gleichungen
> > 1. - 4. erfüllen.
> > > Macht man das so?
> > Ja, aber wo sind die Extrema?
> Das ist ne gute frage ;)
> Genau das versteh ich jetzt nciht. Und woher weiß ich ob
Gebe die Extrema als Lösung der Gleichungen an.
> es ein maxima oder Minima ist und ob es lokal oder global
> ist?
Setze die gefunden Punkte z.B. in f(x,y,z) ein.
> > >
> > > MFG
> >
> > Gruß
> > meili
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Mo 08.07.2013 | | Autor: | fred97 |
Das Gleichungssystem
1. $ [mm] \frac{\partial}{\partial x}L= [/mm] 2x+2y+2z+2xv=0 $
2. $ [mm] \frac{\partial}{\partial y}L= [/mm] 2x+2y+2z+4yv=0 $
3. $ [mm] \frac{\partial}{\partial z}L= [/mm] 2x+2y+2z+6zv=0 $
4. $ [mm] \frac{\partial}{\partial v}L= x^2+2y^2+3z^2-1=0 [/mm] $
ist korrekt.
Es folgt:
$2vy=vx=3vz$
Nun mußt Du aber unterscheiden:
v=0 und v [mm] \ne [/mm] 0.
Fall 1: v [mm] \ne [/mm] 0.
Dann haben wir [mm] y=\bruch{1}{2}x [/mm] und [mm] z=\bruch{1}{3}x
[/mm]
Setzt man das in 4. ein, erhält man:
x= [mm] \pm \wurzel{\bruch{6}{11}}
[/mm]
Damit bekommen wir die Punkte
[mm] a:=(\wurzel{\bruch{6}{11}}, \bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{6}{11}}, \bruch{1}{3}\wurzel{\bruch{6}{11}}) [/mm] und b:=-a.
Es ist f(a)=f(b)= [mm] \bruch{11}{6}.
[/mm]
Fall 2: v=0 (den Fall hast Du nicht behandelt !)
Für v=0 bekommen wir:
x+y+z=0 und [mm] x^2+2y^2+3z^2=1 [/mm] .
Dieses Gleichungsystem hat Lösungen ! Z.B.:
x= [mm] \wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm] , y= [mm] -\wurzel{\bruch{1}{3}}, [/mm] z=0
Die Menge [mm] M_{in}:=\{(x,y,z) \in \IR^3: x+y+z=0, x^2+2y^2+3z^2=1\} [/mm] ist also nicht leer.
Für (x,y,z) [mm] \in M_{in} [/mm] ist f(x,y,z)=0.
So, was sagt uns das alles ?
Die Menge E ist kompakt und f ist auf E stetig, also ex. Punkte [mm] a_M, a_m \in [/mm] E mit
[mm] f(a_m)= [/mm] min f(E) und [mm] f(a_M)= [/mm] max f(E).
Da f(x,y,z) [mm] \ge [/mm] 0 in jedem(x,y,z), haben wir
[mm] a_m \in M_{in}.
[/mm]
D.h.: f nimmt sei globales Minimum auf E in jedem Punkt aus [mm] M_{in} [/mm] an !
Weiter ist (mit a und b aus Fall 1):
[mm] a_M \in \{a,b\}
[/mm]
Wegen f(a)=f(b)= [mm] \bruch{11}{6}, [/mm] hat f auf E das globale Maximum [mm] \bruch{11}{6}
[/mm]
FRED
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> Das Gleichungssystem
>
>
>
> 1. [mm]\frac{\partial}{\partial x}L= 2x+2y+2z+2xv=0[/mm]
> 2.
> [mm]\frac{\partial}{\partial y}L= 2x+2y+2z+4yv=0[/mm]
> 3.
> [mm]\frac{\partial}{\partial z}L= 2x+2y+2z+6zv=0[/mm]
> 4.
> [mm]\frac{\partial}{\partial v}L= x^2+2y^2+3z^2-1=0[/mm]
>
> ist korrekt.
>
> Es folgt:
>
> [mm]2vy=vx=3vz[/mm]
>
> Nun mußt Du aber unterscheiden:
>
> v=0 und v [mm]\ne[/mm] 0.
Warum muss ich unterscheiden?
Wenn ich die Lagrange-Methode mache daann muss ich doch nur nach x,y,z,v Ableiten und gleich 0 setzen.
Kann ich dann nicht auch die Hesse Matrix bilden und nach postiv(negativ) definit prüfen?
Muss ich immer bei einer Funktion
$L(x,y,z,v)=f(x,y,z)+v*g(x,y,z)$
den Fall annehmen dass v=0 und [mm] $v\not=0$?
[/mm]
>
> Fall 1: v [mm]\ne[/mm] 0.
>
> Dann haben wir [mm]y=\bruch{1}{2}x[/mm] und [mm]z=\bruch{1}{3}x[/mm]
>
> Setzt man das in 4. ein, erhält man:
>
> x= [mm]\pm \wurzel{\bruch{6}{11}}[/mm]
>
> Damit bekommen wir die Punkte
>
> [mm]a:=(\wurzel{\bruch{6}{11}}, \bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{6}{11}}, \bruch{1}{3}\wurzel{\bruch{6}{11}})[/mm]
> und b:=-a.
>
> Es ist f(a)=f(b)= [mm]\bruch{11}{6}.[/mm]
>
> Fall 2: v=0 (den Fall hast Du nicht behandelt !)
>
> Für v=0 bekommen wir:
>
> x+y+z=0 und [mm]x^2+2y^2+3z^2=1[/mm] .
>
> Dieses Gleichungsystem hat Lösungen ! Z.B.:
>
> x= [mm]\wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm] , y= [mm]-\wurzel{\bruch{1}{3}},[/mm] z=0
>
> Die Menge [mm]M_{in}:=\{(x,y,z) \in \IR^3: x+y+z=0, x^2+2y^2+3z^2=1\}[/mm]
> ist also nicht leer.
>
> Für (x,y,z) [mm]\in M_{in}[/mm] ist f(x,y,z)=0.
>
>
> So, was sagt uns das alles ?
>
> Die Menge E ist kompakt und f ist auf E stetig, also ex.
> Punkte [mm]a_M, a_m \in[/mm] E mit
>
> [mm]f(a_m)=[/mm] min f(E) und [mm]f(a_M)=[/mm] max f(E).
>
> Da f(x,y,z) [mm]\ge[/mm] 0 in jedem(x,y,z), haben wir
>
> [mm]a_m \in M_{in}.[/mm]
>
> D.h.: f nimmt sei globales Minimum auf E in jedem Punkt
> aus [mm]M_{in}[/mm] an !
>
> Weiter ist (mit a und b aus Fall 1):
>
> [mm]a_M \in \{a,b\}[/mm]
>
> Wegen f(a)=f(b)= [mm]\bruch{11}{6},[/mm] hat f auf E das globale
> Maximum [mm]\bruch{11}{6}[/mm]
>
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mo 08.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Das Gleichungssystem
> >
> >
> >
> > 1. [mm]\frac{\partial}{\partial x}L= 2x+2y+2z+2xv=0[/mm]
> > 2.
> > [mm]\frac{\partial}{\partial y}L= 2x+2y+2z+4yv=0[/mm]
> > 3.
> > [mm]\frac{\partial}{\partial z}L= 2x+2y+2z+6zv=0[/mm]
> > 4.
> > [mm]\frac{\partial}{\partial v}L= x^2+2y^2+3z^2-1=0[/mm]
> >
> > ist korrekt.
> >
> > Es folgt:
> >
> > [mm]2vy=vx=3vz[/mm]
> >
> > Nun mußt Du aber unterscheiden:
> >
> > v=0 und v [mm]\ne[/mm] 0.
> Warum muss ich unterscheiden?
Du hast doch die Gleichung
$ 2vy=vx=3vz $
Aus dieser folgt, falls v [mm] \ne [/mm] 0 ist: 2y=x=3z.
Ist v=0, so kannst Du das nicht folgern.
> Wenn ich die Lagrange-Methode mache daann muss ich doch
> nur nach x,y,z,v Ableiten und gleich 0 setzen.
> Kann ich dann nicht auch die Hesse Matrix bilden und nach
> postiv(negativ) definit prüfen?
> Muss ich immer bei einer Funktion
> [mm]L(x,y,z,v)=f(x,y,z)+v*g(x,y,z)[/mm]
> den Fall annehmen dass v=0 und [mm]v\not=0[/mm]?
Nein.
FRED
> >
> > Fall 1: v [mm]\ne[/mm] 0.
> >
> > Dann haben wir [mm]y=\bruch{1}{2}x[/mm] und [mm]z=\bruch{1}{3}x[/mm]
> >
> > Setzt man das in 4. ein, erhält man:
> >
> > x= [mm]\pm \wurzel{\bruch{6}{11}}[/mm]
> >
> > Damit bekommen wir die Punkte
> >
> > [mm]a:=(\wurzel{\bruch{6}{11}}, \bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{6}{11}}, \bruch{1}{3}\wurzel{\bruch{6}{11}})[/mm]
> > und b:=-a.
> >
> > Es ist f(a)=f(b)= [mm]\bruch{11}{6}.[/mm]
> >
> > Fall 2: v=0 (den Fall hast Du nicht behandelt !)
> >
> > Für v=0 bekommen wir:
> >
> > x+y+z=0 und [mm]x^2+2y^2+3z^2=1[/mm] .
> >
> > Dieses Gleichungsystem hat Lösungen ! Z.B.:
> >
> > x= [mm]\wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm] , y= [mm]-\wurzel{\bruch{1}{3}},[/mm] z=0
> >
> > Die Menge [mm]M_{in}:=\{(x,y,z) \in \IR^3: x+y+z=0, x^2+2y^2+3z^2=1\}[/mm]
> > ist also nicht leer.
> >
> > Für (x,y,z) [mm]\in M_{in}[/mm] ist f(x,y,z)=0.
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> > So, was sagt uns das alles ?
> >
> > Die Menge E ist kompakt und f ist auf E stetig, also ex.
> > Punkte [mm]a_M, a_m \in[/mm] E mit
> >
> > [mm]f(a_m)=[/mm] min f(E) und [mm]f(a_M)=[/mm] max f(E).
> >
> > Da f(x,y,z) [mm]\ge[/mm] 0 in jedem(x,y,z), haben wir
> >
> > [mm]a_m \in M_{in}.[/mm]
> >
> > D.h.: f nimmt sei globales Minimum auf E in jedem Punkt
> > aus [mm]M_{in}[/mm] an !
> >
> > Weiter ist (mit a und b aus Fall 1):
> >
> > [mm]a_M \in \{a,b\}[/mm]
> >
> > Wegen f(a)=f(b)= [mm]\bruch{11}{6},[/mm] hat f auf E das globale
> > Maximum [mm]\bruch{11}{6}[/mm]
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> > FRED
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