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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Funktion [mm]f(x)=a+bx+cx^{3}[/mm]
Finde optimale Werte für a, b und c (Die zwischen -10 und 10 liegen), sodass folgende Bedingungen erfüllt sind:
a) Das Integral von 0 bis 1 ist maximal.
b) Die Steigung der Funktion ist an der Stelle 1 Null.
Welchen Wert hat das Integral? |
Ahoi,
ich habe soeben meine Mathematik Prüfung geschrieben und hatte da eine Aufgabe, wo es darum ging, Werte für a, b und c zu finden, wo zwei Bedingungen für die Funktion erfüllt sind.
Ich habe sage und schreibe 20 minuten auf das Blatt gestarrt, ohne zu wissen, wie ich das anstellen soll, aber dann kam mir noch ein Geistesblitz.
Ich möchte mein Ergebnis mal vortragen und würde gerne Fragen, ob ich damit richtig lag.
Also die erste Bedingung war ja, dass das Integral von 0 bis 1 maximal sein soll. Zuerst rechne ich das Integral so weit es geht schon mal aus:
[mm] \integral_{0}^{2}{a+bx+cx^{3} dx}
[/mm]
So Stammfunktion hinbatschen:
[mm] =[ax+\bruch{1}{2}bx^{2}+\bruch{1}{4}cx^{4}]_{0}^{1}
[/mm]
[mm] =(a+\bruch{1}{2}*b+\bruch{1}{4}*c)-(\bruch{1}{2}*b+\bruch{1}{4}*c)
[/mm]
Dann als nächstes wegen der Steigung. Die soll ja bei der Stelle 1 = 0 sein. Also bei x = 1?
Als erstes mach ich mal die Ableitung, um die Steigung zu haben:
[mm] f'(x)=b+3*cx^{2}
[/mm]
Dann setze ich ein:
[mm]0=b+3*c[/mm]
Bis hier hin war dann der Zustand, wo ich nicht mehr wusste, wie ich weitermachen sollte.
Da kam mir dann die Idee, was wäre wenn b und c jeweils 0 wären. Und a müsste den maximalen Wert von 10 haben.
Die Funktion sähe dann so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die rote Linie ist die Funktion, die graue Fläche das Integral von 0 bis 1.
Dann wäre die Steigung an der Stelle x=1 0 und das Integral von 0 bis 1 maximal.
Als Lösung hab ich dann folgendes angegeben:
[mm]a=10[/mm]
[mm]b=0[/mm]
[mm]c=0[/mm]
Und das Integral hat den Wert 10
Ist meine Lösung korrekt?
Ob ich wirklich richtig stehT, seh ich, wenn das Licht angeht!
Danke für die Infos :D
Lg
Andi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Mo 31.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Andy
Dein Vorgehen ist im Prinzip richtig aber:
$ [mm] =[ax+\bruch{1}{2}bx^{2}+\bruch{1}{4}cx^{4}]_{0}^{1} [/mm] $
$ [mm] =(a+\bruch{1}{2}\cdot{}b+\bruch{1}{4}\cdot{}c)-(\bruch{1}{2}\cdot{}b+\bruch{1}{4}\cdot{}c) [/mm] $
bei 0 ist der Term doch 0, also ist das [mm] -(\bruch{1}{2}\cdot{}b+\bruch{1}{4}\cdot{}c) [/mm] falsch.
dann hast du doch :b+3c=0
also b=-3c
und a+b/2+c/4=a-3/2c+c/4=a-5/4c soll möglichst gross sein.
d.h. a möglichst gross positiv, a=10, b möglichst gross negativ c=-10 geht nicht, wegen b=-3c, also b=10 c=-10/3
wäre die richtige Lösung
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Ahoi leduart,
so ein Mist, jetzt wo dus sagst ... hab das Integral falsch gebildet und dann Folgefehler drin.
Aber wenigstens stimmt schon mal der Ansatz, das gibt dann wenigstens Teilpunkte
Vielen Dank für die Info
Lg
Andi
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