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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion: f(x) = [mm] -x^2+4
[/mm]
Der Graph schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.
a)Beschreiben Sie dieser Fläche ein Achsenparalleles Rechteck mit möglichst großem Inhalt ein.
b)Beschreiben Sie der Fläche ein zur y-Achse Symmetrisches gleichschenkliches Dreieck mit möglichst großrem Inhalt ein, dessen Spitze im Punkt (0/0) liegt. |
a)
meine extremalbedingung lautet ja A= a*b
ich komme jedoch nicht auf eine nebenbedingung und somit nicht auf die Zielfunktion...
b)
hier lautet meine extremalbedingung ja A= 1/2 * a*b, ich finde jedoch auch keine nebenbedingung...
würde mich über einen ansatz sehr freuen. lg tina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 Di 10.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Machen wir erst einmal die a), dann findest du vielleicht für die b) einen eigenen Ansatz.
Da die Funktion achsensymmetrisch ist, sind die vier Ecken des achsenparallelen Rechtsecks von der Form
$(x/0)$, [mm] $(x/-x^2+4)$, $(-x/-x^2+4)$ [/mm] und $(-x/0)$
für ein $x [mm] \in [/mm] (0,2)$.
Ist dir das bis hierhin klar?
Wie lang sind dann die beiden Seiten des Rechtecks? Hast du eine Idee?
Liebe Grüße
Stefan
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tut mir leid, aber as ist mir nicht klar:(
also, dass die funktion achsensymmetrisch ist, weiß ich ja. aber woher weiß ich dann, dass die vier ecken von der form
$ (x/0) $, $ [mm] (x/-x^2+4) [/mm] $, $ [mm] (-x/-x^2+4) [/mm] $, und $ (-x/0) $ sind?
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Hallo,
na ja du musst dir ja nun überlegen, was du in deine Hauptbedingung für x und y einsetzt. Du weißt, dass das Rechteck achsenparallel ist. Das bedeutet du weißt, dass die Eckpunkte gleichweit von der y-Achse entfernt liegen, deswegen (x|0) und (-x|0). Die anderen beiden Eckpunkte liegen auf der Spur des Graphen, d.h. der x-Wert bleibt gleich und die y-Komponente ist gerade der Funktionsterm. Insgesamt ergibt das
>
> [mm](x/0) [/mm], [mm](x/-x^2+4) [/mm], [mm](-x/-x^2+4) [/mm], und [mm](-x/0)[/mm] sind?
Nun bleibt noch die Frage, wie sieht also deine Funktion aus, die du ableitest? Dazu einfach x und y passend einsetzen!
Viele Grüße
Daniel
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okay, das mit den eckpunkten hab ich verstanden, danke;)
nur wie komme ich jetzt auf die nebenbedingung bzw woher weiß ich, wie lang die seiten sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:38 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Tina!
Hier mal eine Skizze zur Veranschaulichung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sei $a_$ die horizontale Seite und $b_$ die vertikale Seite des Rechteckes.
Dann gilt für die Rechtecksfläche $A \ = \ A(a;b) \ = \ a*b$
Nun gilt:
$a \ = \ 2x$ (wegen der Symmetrie von $f(x)_$ ) sowie
$b \ = \ f(x) \ = \ [mm] 4-x^2$
[/mm]
Einsetzen in die Rechtecksformel liefert Deine Zielfunktion:
$A \ = \ A(x) \ = \ [mm] 2x*\left(4-x^2\right) [/mm] \ = \ ...$
Denn Rest mit der Extremwertberechnung schaffst Du nun selber, oder?
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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okay, vielen lieben dank. mithife der skizze habe ich es verstanden.
ich habe dann als zieflfunktion: A(x)= [mm] 8x-2x^3 [/mm] und die ableitung lautet dann: A'(x)= [mm] 8-6x^2
[/mm]
diese setze ich dann gleich null:
[mm] 0=8-6x^2
[/mm]
[mm] x^2=\bruch{4}{3}
[/mm]
[mm] x_1=\bruch{2}{\wurzel{3}} [/mm] oder [mm] X_2=- \bruch{2}{\wurzel{3}}
[/mm]
für y erhalre ich: y=4- [mm] \bruch{4}{3} [/mm] = 2 [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
und als fläche dann A(x)= x*y = 3,08 FE
stimmt das? lg tina
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okay, stimmt!
wenn ich jetzt überprüfen will, ob dies auch wirklich ein maxima ist, dann muss ich das doch in die 2. abl einsetzen.
hier bekome ich für [mm] f''(x_1)=-13,8 [/mm] heraus, also gilt nur der [mm] x_1 [/mm] wert oder?
lg
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Hallo,
hier gehst du genauso vor wie unten beschrieben. Nur, dass dein Dreieck jetzt die Punkte
(0|0), [mm] (x|-x^{2}+4),(-x|-x^{2}+4)
[/mm]
hat. Gleichung aufstellen, ableiten, null setzen und fertig!
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:42 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Moin Tina!
Und hier auch für die Dreiecksaufgabe die Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die geht fast genauso wie die erste Aufgabe. Ich hoffe, nun ist es klar?
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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ist es hier nicht so, dass das dreieck einfach halb so goß ist, wie das rechteck?
denn a= x und b= [mm] 4-x^2 [/mm] , wenn man die beiden dreiecke zu einem quadrat macht.
lg, tina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
> ist es hier nicht so, dass das dreieck einfach halb so goß
> ist, wie das rechteck?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Gut und richtig beobachtet!
> denn a= x und b= [mm]4-x^2[/mm] , wenn man die beiden dreiecke zu
> einem quadrat macht.
Aufpassen:
Für das gesamte Dreieck (siehe obige Skizze) gilt wieder: $a \ = \ [mm] \red{2}*x$ [/mm] .
Zudem würde ich hier lieber $g_$ und $h_$ (bzw. [mm] $h_g$ [/mm] ) als Bezeichnung wählen mit $g \ =\ 2*x$ und [mm] $h_g [/mm] \ = \ [mm] 4-x^2$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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okay, für die fläche kommt dann also 3,08 FE heraus. mit g= wurzel{4}{3} und h=2 [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tina!
> okay, für die fläche kommt dann also 3,08 FE heraus.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig!
> mit g=wurzel{4}{3} und h=2 [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
Die Höhe stimmt ... allerdings gilt für die Grundseite $g_$ :
$g \ = \ [mm] 2*\bruch{2}{\wurzel{3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{\wurzel{3}}$ [/mm] (also keine Wurzel im Zähler!).
Gruß
Loddar
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![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
