Extremwertaufgabe < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 So 12.02.2006 | | Autor: | Norman |
| Aufgabe | Es sei M ein beliebiger Punkt der Geraden g. Die Punkte K,L und M seien die Eckpunkte des Dreiecks KLM.
Ermitteln Sie die Koordinaten desjenigen Punktes M, für den der Flächeninhalt des Dreiecks KLM am kleinsten ist.
Gerade g. [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 6} [/mm] +t [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] t [mm] \in \IR
[/mm]
K(1|1|1) L(2|2|0)
Die Punkte K und L liegen in der Ebene F 4x-y+3z-6=0 |
ich selbst habe mir die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks rausgesucht. A= 1/2 g*h .
Ich weis das die ich die Länge von KL ausrechnen kann indem ich einfach einen Vektor bilde und dessen Betrag ausrechne. Dieser is dann [mm] \wurzel{3} [/mm] LE. Nun weis ich aber nich wie ich das mit dem Punkt m machen soll , da ich nich weis wo dieser liegt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 So 12.02.2006 | | Autor: | riwe |
kannst du die koordinaten von L überprüfen, dieser punkt liegt auf g!
=> A = 0
werner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 So 12.02.2006 | | Autor: | Norman |
Die Koordinaten stimmen.
Die Aufgave die ich habe ist eine Teilaufgabe aus einer älteren ABiturprüfung.
Ich zeige mal die Komplette Aufgabe, vielleich habe ich ja etwas wichtiges übersehen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 So 12.02.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Norman,
Wir freuen uns auch über eine freundliche Begrüßung.
> Es sei M ein beliebiger Punkt der Geraden g. Die Punkte K,L
> und M seien die Eckpunkte des Dreiecks KLM.
>
> Ermitteln Sie die Koordinaten desjenigen Punktes M, für den
> der Flächeninhalt des Dreiecks KLM am kleinsten ist.
>
> Gerade g. [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 6}[/mm] +t
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm] t [mm]\in \IR[/mm]
>
> K(1|1|1) L(2|2|0)
>
> Die Punkte K und L liegen in der Ebene F 4x-y+3z-6=0
> ich selbst habe mir die Formel für die Berechnung des
> Flächeninhalts eines Dreiecks rausgesucht. A= 1/2 g*h .
>
> Ich weis das die ich die Länge von KL ausrechnen kann indem
> ich einfach einen Vektor bilde und dessen Betrag ausrechne.
> Dieser is dann [mm]\wurzel{3}[/mm] LE. Nun weis ich aber nich wie
> ich das mit dem Punkt m machen soll , da ich nich weis wo
> dieser liegt.
Du kannst aber M in Abhängigkeit von t angeben: M(2+t|1|6-t). Du müsstest jetzt den Abstand des Punktes M von der Geraden KL bestimmen. Der ist natürlich abhängig von t. Damit bekommst du dann den Flächeninhalt als Funktion von t.
Eventuell kommst du auch mit der Formel [mm] A = \bruch{1}{2} \ a\ b\ \sin \gamma [/mm] weiter.
Ich habe noch nicht durchgerechnet, was einfacher ist.
Der Punkt L liegt übrigens nicht auf g.
Gruß
Sigrid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 Mo 13.02.2006 | | Autor: | riwe |
pardon, das war ein lesefehler von mir, habe [mm] \vektor{2 \\ 1\\0} [/mm] statt [mm] \vektor{2 \\ 1\\6} [/mm] gelesen.
als gutmachung der lösungsweg.
wenn man es übersetzt, heißt die aufgabe: bestimme den (senkrechten) abstand der beiden windschiefen geraden g und h durch KL, das ist dann die höhe des gesuchten dreiecks mit minimaler fläche.
h: [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 1\\1}+s\vektor{1\\ 1\\-1}.
[/mm]
es gibt nun einige methoden zur bestimmung des abstands windschiefer geraden, eine davon: der punkt P der senkrechten verbindungsgeraden liegt auf h, mit noch unbekanntem s, der dient als aufpunkt der senkrechten verbindungsgeraden, deren schnittpunkt Q mit noch zu bestimmendem s liegt auf g, der abstand d = PQ.
der richtungsvektor der senkrechten geraden [mm] \vektor{1 \\ 0\\-1} \times\vektor{1 \\ 1\\-1}=\vektor{1 \\ 0\\1}
[/mm]
zur bestimmung von (r),s und t ist also das lineare gleichungssystem zu lösen:
[mm] \vektor{1 \\ 1\\1}+s\vektor{1 \\ 1\\-1}+r\vektor{1 \\ 0\\1}=\vektor{2 \\ 1\\6}+t\vektor{1 \\ 0\\-1}
[/mm]
mit r = 3,s = 0 und t = 2 und den punkten P(1/1/1) = L auf h und Q(4/1/4) auf g.
es handelt sich also um ein rechtwinkeligges dreieck der fläche A = [mm] \frac{1}{2}KL \cdot [/mm] KQ.
werner
|
|
|
|
