Extremwertaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Mi 03.01.2007 | | Autor: | maresi1 |
| Aufgabe | | Einer Kugel vom Radius 10cm werden Drehzylinder eingeschrieben. Wir berechnen die Maße und das Volumen des Zylinders, der das größte Volumen hat. |
Hallo!
könnte mir jemand die ansätze dieses Bsp erklären? (also Hauptbedingung und Nebenbedingung); denn ich habe keine Ahnung , bzw. nicht einmal ein bisschen logisches einsehen in dieses Bsp! wie soll man denn so etwas anfangen?? danke! lg maresi
|
|
| |
|
Nun, dann zeichne dir mal einen Kreis, dem ein Rechteck einbeschrieben ist.
Vom Mittelpunkt zu einer Ecke hast du den Radius, und nach Pythagoras gilt [mm] $R^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2, [/mm] während die Fläche des Rechtecks A=ab ist. Du könntest jetzt die erste Formel z.b. nach a auflösen und in die zweite einsetzen. Dann ist die Fläche A nur noch von b abhängig, und vom gegebenen, konstanten Radius R.
In deiner Aufgabe wird das ganze nun nur dreidimensional. Es gilt nun:
[mm] $R^2=r^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2$
[/mm]
wobei r nun der Zylinderradius ist.
Das Volumen ist [mm] $\pi r^2 [/mm] *h$.
Demnach solltest du die vorletzte Formel am besten einfach nach r² auflösen und in die letzte einsetzen. Dann nach h ableiten, Nullstelle berechnen, und fertig!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Do 04.01.2007 | | Autor: | maresi1 |
danke erstmal!
also ich hab das so gemacht:
Hauptbedingung: V max vom Zylinder
V= [mm] r²\pi [/mm] h
Nebenbedingung: kA. ich weiß nicht wie ich herausfinden soll was da passt?
ist mein ansatz HB ok? danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Do 04.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Schau mal in Steffis Antwort, das müsste als Info genügen
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Do 04.01.2007 | | Autor: | maresi1 |
ah, ok hab grad was kapiert, aber warum h/2??
|
|
|
| |
|
Hallo,
der Kugel wird ein Zylinder einbeschrieben, stelle dir den Mittelpunkt der Kugel vor, dann liegt die Hälfte der Höhe des Zylinders über dem Mittelpunkt und die Hälfte der Höhe des Zylinders dadrunter,
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Do 04.01.2007 | | Autor: | maresi1 |
| Aufgabe |
" einer halbkugel vom Radius 10cm ist ein drehkegel mit
a) dem größten Volumen
b)der größten Oberfläche einzuschrieben.
die spitze des drehkegels liegt im kugelmittelpunkt"
|
ok, ich hab jez mal dieses hier versucht zu lösen!
a) Hauptbedingung: V= [mm] \bruch{r²\pi h}{3} [/mm]
Nebenbedingung : R²= r²+h²
h²=R²-r² usw. das habe ich gewählt, weil ich ein rechtwinkliges dreieck entdeckt habe.
ist das jez so mal der richtige logische ansatz , oder lieg ich wieeder komplett daneben?? danke sehr sehr sehr!!lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Do 04.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das sieht gut aus, ich nehme mal an, du meinst mit R den Kugelradius von 10 cm.
Tipp: Einfacher wir des, wenn du 100=h²+r² nach r² auflöst, weil r² auh in de Volumenformel steht.
Also:
[mm] V(h)=\bruch{1}{3}\pi(100-h²)*h
[/mm]
Hiervon musst du jetzt das Maximum bestimmen.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Do 04.01.2007 | | Autor: | maresi1 |
super, danke! das gibt hoffnung! aber hätte man auch eine andere Nebenbedingung wählen können? danke! lg
|
|
|
| |
|
Hallo maresi1,
> super, danke! das gibt hoffnung! aber hätte man auch eine
> andere Nebenbedingung wählen können? danke! lg
nein, bei dieser Aufgabe nicht. Es kommt halt immer darauf an, einen Zusammenhang zwischen den beiden Variablen so zu finden, dass man die ein durch die andere und weitere gegebene Größen ausrechnen kann.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  MiniMaxAufgaben
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:38 Fr 05.01.2007 | | Autor: | maresi1 |
dankeschön!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Sa 06.01.2007 | | Autor: | maresi1 |
| Aufgabe | von einem rechteckigen stück blech mit 16cm länge und 10cm breite werden an den ecken kongruente quadrate ausgeschitten und aus dem rest wird eine schachtel gebildet. wie muss die sietenlänge der auszuschneidenden quadrate gewählt werde, damit eine schachtel von größtem rauminhalt entseht?
hinweis: wir zeichnen das netz der Schachtel und lesen die länge breite und höhe der schachtel ab. |
hallo,
also nachdem ich s jez geschafft habe, die beiden anderen bsp einzulernen, scheitere ich an diesem hier....
also: die hB müsste doch (weil rechteckige schachtel) vol max vom Quader sein also: V= abh
und NB: entweder: u=2a+2b oder u= 4a????
geht das in die richtige richtung??
danke schön!
|
|
|
| |
|
Hallo,
die zu bauende Schachtel ist ein Quader, V=a*b*h, zeichne dir mal ein Rechteck mit vier Quadraten an den Ecken Seitenlänge x (die sollen abgeschnitten werden, dann Schachtel falten und zusammenkleben), a verkürzt sich um 2x, ebenso verkürzt sich b um 2x die Höhe wird zu x, ergibt:
V=(a-2x)*(b-2x)*x, a=16cm und b=10cm sind bekannt
V=(16-2x)*(10-2x)*x
Klammern auflösen, 1. Ableitung bilden, Null setzen........
du erhälst zwei Lösungen, eine Lösung ist aber mathematisch sinnlos bei dieser Aufgabe,
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Sa 06.01.2007 | | Autor: | maresi1 |
ok ,danke, und aber was is dann hier die nebenbedingung? danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Sa 06.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Hauptbedingung ist ja:
[mm] V(x,\overline{a},\overline{b})=\overline{a}*\overline{b}*x
[/mm]
Jetzt gilt:
[mm] \overline{a}=\green{a}-2x
[/mm]
und: [mm] \overline{b}=\green{b}-2x
[/mm]
Das sind die beiden Nebenbedingungen
[mm] \green{a} [/mm] und [mm] \green{b} [/mm] sind ja bekannt, so dass nun gilt:
V(x)=(a-2x)(b-2x)*x
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 So 07.01.2007 | | Autor: | maresi1 |
danke! jez is es mir auch klar!lG !!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 So 07.01.2007 | | Autor: | maresi1 |
| Aufgabe | 1) [mm] V=[100-(\bruch{h}{2})²] *\pi*h
[/mm]
2) V= [mm] \bruch{(100-h²)*\pi*h}{3} [/mm] |
gut, also dank eurer hilfe kann ich jetzt die hb und nb aufstellen;ABER: jetzt scheitere ich wieder hierbei:((((((
ich hab so begonnen:
1) [mm] V=(100-\bruch{h²}{4})*\pi*h
[/mm]
V= [mm] (25-h²)*\pi*h
[/mm]
[mm] V=25\pi [/mm] h - [mm] h³\pi
[/mm]
V'= [mm] 25\pi [/mm] - [mm] 3h²\pi [/mm] =O [mm] /:\pi
[/mm]
V'= 25 - 3 h² =0 /*-1
V'= -25+3h²=0
= 3h²=25 /3
= h²= 8,333
2) V= [mm] \bruch{100\pi h - h³\pi}{3}
[/mm]
V`=?? (sollte man die quotientenregel nehmen , wegen d. bruch?)
ich würds gerne kapieren, aber das verwirrt mich total ;vll schaff ich auch diese hürden noch;)? danke auf jeden fall!
|
|
|
| |
|
Hallo maresi1,
> 1) [mm]V=[100-(\bruch{h}{2})²] *\pi*h[/mm]
>
> 2) V= [mm]\bruch{(100-h²)*\pi*h}{3}[/mm]
> gut, also dank eurer hilfe kann ich jetzt die hb und nb
> aufstellen;ABER: jetzt scheitere ich wieder hierbei:((((((
>
> ich hab so begonnen:
>
> 1) [mm]V=(100-\bruch{h²}{4})*\pi*h[/mm]
>
> V= [mm](25-h²)*\pi*h[/mm]
>
> [mm]V=25\pi[/mm] h - [mm]h³\pi[/mm]
>
> V'= [mm]25\pi[/mm] - [mm]3h²\pi[/mm] =O [mm]/:\pi[/mm]
>
> V'= 25 - 3 h² =0 /*-1
>
> V'= -25+3h²=0
>
> = 3h²=25 /3
>
> = h²= 8,333
schreib lieber einen Bruch: [mm] h^2=\frac{25}{3} \Rightarrow h=5*\wurzel{\frac{1}{3}}
[/mm]
>
>
> 2) V= [mm]\bruch{100\pi h - h³\pi}{3}[/mm]
>
> V'=?? (sollte man die quotientenregel nehmen , wegen d.
> bruch?)
natürlich nicht! Denn im Nenner steht doch kein Funktionsterm, sondern nur eine Konstante:
2) [mm]V= \bruch{\pi}{3}*(100h-h^3)[/mm]
>
>
> ich würds gerne kapieren, aber das verwirrt mich total ;vll
> schaff ich auch diese hürden noch;)? danke auf jeden fall!
>
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 So 07.01.2007 | | Autor: | maresi1 |
danke, also stimmt das erste ergebins?
zu 2) V`= [mm] \bruch{1}{3}\pi [/mm] * (100- 3h²)
[mm] \bruch{1}{3}\pi [/mm] * (100- 3h²)=0
[mm] \bruch{100}{3}\pi [/mm] - [mm] \bruch{3h²}{3}\pi=0 /:\pi
[/mm]
[mm] \bruch{100}{3} [/mm] - [mm] \bruch{3h²}{3} [/mm] =0 /*3
100-3h² = 0
3h²=100 /:3
h² = 33,3333 h=5,773
geht das so? danke nochmals!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 So 07.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo:
Mach es dir einfacher:
[mm] V'(h)=\bruch{\pi}{3}(100-3h²)
[/mm]
Und da ein Produkt genau dann gleich Null ist, wenn einer der Faktoren Null wird, gilt:
100=3h²
[mm] \gdw\pm\wurzel{\bruch{100}{3}}=h
[/mm]
[mm] \gdw\pm\bruch{10}{\wurzel{3}}=h
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 So 07.01.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Achtung!!!
du hast folgende Umformung falsch gemacht:
[mm] V=(100-\bruch{h^{2}}{4})*\pi*h
[/mm]
[mm] V=(25-h^{2})*\pi*h
[/mm]
das ist ja wohl keine äquivalente Umformung von der 1. Klammer zur 2. Klammer, ansonsten sind deine Rechenschritte aber korrekt, jetzt ändert sich natürlich dein Ergebnis für h!!
steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 So 07.01.2007 | | Autor: | maresi1 |
danke, aber steffi ich weiß jez nicht was du meinst, was sollte denn da anders gemacht werden? danke!
|
|
|
| |
|
Hallo,
du hast [mm] (100-\bruch{h^{2}}{4})=(25-h^{2}) [/mm] in deiner Rechnung, das dürfen wir so nicht umformen!!
[mm] V(h)=(100-\bruch{h^{2}}{4})*\pi*h, [/mm] Klammern auflösen
[mm] V(h)=100*\pi*h-\bruch{\pi}{4}*h^{3}, [/mm] 1. Ableitung machen
[mm] V'(h)=100*\pi-3\bruch{\pi}{4}*h^{2}, [/mm] Null setzen
[mm] 0=100*\pi-3\bruch{\pi}{4}*h^{2}, [/mm] Division durch [mm] \pi
[/mm]
[mm] 0=100-\bruch{3}{4}*h^{2}
[/mm]
[mm] 100=\bruch{3}{4}*h^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{400}{3}=h^{2}
[/mm]
[mm] h=\bruch{20}{\wurzel{3}}\approx11,5, [/mm] negative Höhen gibt es ja nicht,
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 So 07.01.2007 | | Autor: | maresi1 |
ach so , ok danke dir steffi, hätt ich alles allein nicht hingekriegt!!!lG
|
|
|
|
