Extremwertaufgabe < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 So 27.01.2008 | | Autor: | M4rc |
| Aufgabe | 6. Ein Unternehmen hat zwei unabhängige Verkaufsfilialen, deren Gewinne G1(x) bzw. G2(y) von den eingesetzten Kapitalmengen x und y in folgender Weise abhängen
G1(x)=ln(1+x)
G2(y)=y/(1+y)
Bestimmen Sie den maximalen Gewinn G1+G2 unter der Bedingung, dass insgesamt 10 Geldeinheiten zur Verfügung stehen. |
Meine Zeilfunktion ist G1+G2 also:
f=ln(1+x)+y/(1+y)
meine nebenbedingung: x+y=10 -> y=10-x
eigensetzt
f=ln(1+x)+(10-x)/(11-x)
das abgeleitet:
f'= 1/(1+x) - 1/(11-x)²
nullgesetzt und auf den gelichen nenner gebracht ergibt das dann
(11-x)²/((1+x)(11-x)²) - (1+x)/((11-x)²(1+x)) = 0
jetzt multipizieren mit nenner und dann ausmutiplizieren
bekomm ich 120-21x+x² =0
wenn ich das nun in die pq formel einsetze erhalte ich keine lösungen.
Kann mir jmd sagen was ich falsch gemacht hab?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 So 27.01.2008 | | Autor: | canuma |
Hi,
ich versuchs mal.
> Meine Zeilfunktion ist G1+G2 also:
>
> f=ln(1+x)+y/(1+y)
>
> meine nebenbedingung: x+y=10 -> y=10-x
>
> eigensetzt
>
> f=ln(1+x)+(10-x)/(11-x)
>
> das abgeleitet:
>
> f'= 1/(1+x) - 1/(11-x)²
>
Die Fkt. f würde ich auchso bestimmen.
Bei f' komme ich aber auf eine andere Lösung.
[mm] f^{'}#=\bruch{1}{x+1}+\bruch{1}{x-11}-\bruch{x-10}{(x-11)^{2}}
[/mm]
oder
[mm] f^{'}#=\bruch{x^{2}-23x+120}{(x+1)(x-11)^2}
[/mm]
jetzt bekommst du im weiteren Schritt auch 2 Lösungen. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 So 27.01.2008 | | Autor: | M4rc |
> Hi,
> ich versuchs mal.
> > Meine Zeilfunktion ist G1+G2 also:
> >
> > f=ln(1+x)+y/(1+y)
> >
> > meine nebenbedingung: x+y=10 -> y=10-x
> >
> > eigensetzt
> >
> > f=ln(1+x)+(10-x)/(11-x)
> >
> > das abgeleitet:
> >
> > f'= 1/(1+x) - 1/(11-x)²
> >
> Die Fkt. f würde ich auchso bestimmen.
> Bei f' komme ich aber auf eine andere Lösung.
>
> [mm]f^{'}#=\bruch{1}{x+1}+\bruch{1}{x-11}-\bruch{x-10}{(x-11)^{2}}[/mm]
> oder
> [mm]f^{'}#=\bruch{x^{2}-23x+120}{(x+1)(x-11)^2}[/mm]
>
wie kommst du darauf? ich komm immer wieder zu der gleichen Ableitung.
[mm] \bruch{1}{1+x} -\bruch{1}{11-x}
[/mm]
ln(x+1) ist [mm] \bruch{1}{1+x} [/mm] abgeleitet
[mm] \bruch{10-x}{11-x} [/mm] nach der Quotienten regel ableite gibt das.
[mm] \bruch{((11-x)*(-1))-((-1)(10-x)}{(11-x)²}
[/mm]
Und zusammen gefasst hab ich [mm] -\bruch{1}{(11-x)²}
[/mm]
> jetzt bekommst du im weiteren Schritt auch 2 Lösungen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 So 27.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo M4rc!
Dann musst Du wohl einen Fehler beim Zusammenfassen machen:
$$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{1+x}-\bruch{1}{(11-x)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(11-x)^2-(1+x)}{(1+x)*(11-x)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{121-22*x+x^2-1-x}{(1+x)*(11-x)^2} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 So 27.01.2008 | | Autor: | M4rc |
ja jetzt hab ich ihn gefunden danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mi 30.01.2008 | | Autor: | M4rc |
Gut jetzt hab ich also 2 Lösungen 8 und 15...
die 15 fällt weg weil die schon grösser als 10 ist und x+y=10 sind oder?
und jetzt setz ich in G(x,y) einfach 8 und 2 ein und dann hab ich den maximalen gewinn???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mi 30.01.2008 | | Autor: | canuma |
Hi,
> Gut jetzt hab ich also 2 Lösungen 8 und 15...
> die 15 fällt weg weil die schon grösser als 10 ist und
richtig
> x+y=10 sind oder?
oder so?
10 Geldeinheiten stehen zur Verfügung.
Die können auf die beiden Funktionen G1(x)und G2(y) aufgeteilt werden.
Also stimmt x+y=10 aber für G1(x)und G2(y)
Wir haben asu diesen beiden, eine Funktion f gemacht. Also interessiert uns das y nicht mehr, da in f ja nur noch x vorkommt. Also muss nur x<11 gelten.
>und jetzt setz ich in G(x,y) einfach 8 und 2 ein und dann
>hab ich den maximalen gewinn???
Zwei ist keine Lösung die du erhalten hast.
Wenn dein G(x,y)=f ist was du definiert hast dann stimmt's
also du berechnest f(8) das ist dein max Gewinn.
Was haben wir gemacht?
1.G1(x)und G2(y) haben wir addiert und die Funktion f erhalten.
2. Die Ableitung von f gebildet, da die 1.Ableitung Null gesetzt, uns den x Wert liefert, für den die Funktion f ihr Maximum hat(Hochpunkt)
3. Wir brauchen aber den y wert. Die Y-Achse ist ja unser Gewinn. Also x in f einsetzen und wir haben die Lösung.
Also dein Höchsten Punkt auf der Funktion f berechnet.
Versuch dir solche Dinge am Anfang grafisch darzustellen. Das verdeutlicht die ganze Sache.
[Dateianhang nicht öffentlich]
lg canuma
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Mi 30.01.2008 | | Autor: | M4rc |
nice thx
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