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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Do 27.03.2008 | | Autor: | gs43 |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] f_k(x)= (x-k)e^2^-^\bruch{x}{k} [/mm] ist gegeben.
Lege auf dem Segment von [mm] K_k, [/mm] das im 4. Feld liegt, einen Punkt P fest und fälle von ihm das Lot auf die y-Achse mit dem Fußpunkt F. Verbinde P außerdem mit dem Ursprung. Bei welcher Lage von P ist der Inhalt des Dreiecks 0PF möglichst gross? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich wäre sehr dankbar, falls jemand mir so weit es geht alles erklären könnte. Ich weiß nur, dass das eine Extremwert-Aufgabe ist. Wir haben zwar schon ein paar mal Extremwert-Aufgaben gemacht, aber die waren völlig anders. Also, ich hoffe ihr könnt mir helfen.
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Hallo,
das Dreieck hat die
Grundseite [mm] \overline{FP}\hat=x
[/mm]
und die Höhe [mm] \overline{FO}\hat=f(x)
[/mm]
[mm] A=\bruch{1}{2}*x*f(x)
[/mm]
jetzt solltest du den Anfang für die Extremwertbetrachtung haben
Steffi
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> Die Funktion [mm]f_k(x)= (x-k)e^2^-^\bruch{x}{k}[/mm] ist
> gegeben.
> Lege auf dem Segment von [mm]K_k,[/mm] das im 4. Feld liegt, einen
> Punkt P fest und fälle von ihm das Lot auf die y-Achse mit
> dem Fußpunkt F. Verbinde P außerdem mit dem Ursprung. Bei
> welcher Lage von P ist der Inhalt des Dreiecks 0PF
> möglichst gross?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo,
> ich wäre sehr dankbar, falls jemand mir so weit es geht
> alles erklären könnte.
Hallo,
vielleicht solltest Du die Aufgabe erstmal für irgendein bestimmtes k bearbeiten, etwa für k=2.
Es ist also die Funktion [mm] f_2(x)= (x-2)e^{2-\bruch{x}{k}} [/mm] gegeben.
Am besten skizzierst bzw. plottest Du sie mal, damit Du etwas vor Augen hast.
Das 4. Feld des Koordinatensystems ist das, wo die x-Werte positiv und die y-Werte negativ sind.
In diesem Bereich, also unten rechts, markier Dir mal einen Punkt [mm] P_1 [/mm] auf dem Graphen.Geh von Punkt [mm] P_1 [/mm] senkrecht hoch zur x-Achse und markiere diesen Punkt. Das ist der zugehörige Punkt [mm] F_1. [/mm] Der Ursprung, [mm] P_1 [/mm] und [mm] F_1 [/mm] bilden ein Dreieck, dessen Flächeninhalt Du berechnen kannst.
Nimm nun einen anderen Punkt [mm] P_2 [/mm] auf dem Graphen, markiere wie oben [mm] F_2, [/mm] betrachte den Flächeninhalt des Dreieckes [mm] UrsprungP_2 F_2.
[/mm]
Dasselbe könnte man nun mit sämtlichen Punkten auf dem Graphen im 4.Feld tun, und die zu bearbeitende Frage ist: Wo muß der Punkt P liegen, damit der Flächeninhalt des Dreieckes maximal ist.
Steffi hat Dir ja schon gesagt, daß heirfür die Funktion $ [mm] A(x)=\bruch{1}{2}\cdot{}x\cdot{}f(x) [/mm] $ zu maximieren ist.
Wie kommst sie zustande?
Wenn der Punkt P mit der x-Koordinate x auf dem Graphen der Funktion f liegt, ist seine y-Koordinate ja gerade f(x).
Wir betrachten also das Dreieck durch P(x, f(x)), F(x,0) und O(0,0).
Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreicks ist die Hälfte des Produktes der Katheten. Wenn Dir nun klar ist, daß die eine Kathete die Lange x und die andere die Länge |f(x)| hat, solltest Du die Aufgabe verstanden haben.
Der Rest ist dann Routine, Extremwerte der Funktion A bestimmen.
Gruß v. Angela
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