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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Mo 09.06.2008 | | Autor: | arser |
| Aufgabe | Abstand Punkt von Ebene
Gegeben ist ein fixierter Punkt P0=(x0;y0;z0) und eine Ebene in der Form a⋅x+b⋅y+c⋅z =d
Bestimmen Sie denjenigen Punkt der Ebene, der vom Punkt P0=(x0;y0;z0) den geringsten
(minmalen) Abstand hat.
Als Zahlenbeispiel: P = (5;5;5) und Ebene 3⋅x+6⋅y+6z= 12
Lösen Sie dieses Problem, indem Sie zunächst die NB in die Zielfunktion
d(x,y,z)einsetzen; explizite Nebenbedingung verschwindet |
Hallo,
Ich habe die Aufgabe auf folgende Weise versucht zu lösen:
Minimiere Abstandsquadrat d(x,y,z) [mm] =(x-x0)^2 +(y-y0)^2 +(z-z0)^2 [/mm] unter der Nebenbedingung ax+by+cz =d.
NB jeweils nach x,y und z umgestellt und alle drei Terme in Zielfunktion eingestzt. Die ZF jeweils nach x,y,z abgeleitet ergibt drei Gleichungen in denen einmal das x, einmal y und einmal z verschwinden. Diese Werte quadriert, summiert und "gewurzelt".
Bsp:
Ebene: 3x+6y+4z=12
Punkt P0(5;5;5)
--> MinAbst: 6.786
Da ich zu faul bin die Ableitungen zu Fuss zu berechnen habe ich MatLab bemüht:
% Beispiel für 3x+6y+4z=12 und P(5;5;5)
syms x y z d dx dy dz
[mm] dx=solve('diff(sqrt(((12-6*y-4*z)/3-5)^2+((12-3*x-4*z)/6-5)^2+((12-3*x-6*y)/4-5)^2),x)=0','x')
[/mm]
[mm] dy=solve('diff(sqrt(((12-6*y-4*z)/3-5)^2+((12-3*x-4*z)/6-5)^2+((12-3*x-6*y)/4-5)^2),y)=0','y')
[/mm]
[mm] dz=solve('diff(sqrt(((12-6*y-4*z)/3-5)^2+((12-3*x-4*z)/6-5)^2+((12-3*x-6*y)/4-5)^2),z)=0','z')
[/mm]
[mm] d=sqrt((48/13)^2+(4/5)^2+(3/2)^2)
[/mm]
Das Ergebnis hier:
dx =
-48/13-16/39*z-18/13*y
dy =
-4/5-32/75*z-9/50*x
dz =
-3/2-6/5*y-3/20*x
d =
4.0649
Das Ergebnis ist falsch.
Ist es mein Ansatz auch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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ich stelle nur fest, dass du in der Rechnung eine andere
Ebenengleichung verwendest als jene, die in der Aufgabe
gegeben ist...
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mo 09.06.2008 | | Autor: | arser |
Was meinst Du genau?
Ins Abstandsquadrat habe ich die nach einer Variable umgestellte Ebenengleichung eingestzt (-x0,-y0,-z0). Habs nochmal kontrolliert. Daran wird es nicht liegen. Ich habe auch andere Beispiele durchgerechnet. Es muss an meinem Ansatz liegen.
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Meine Mitteilung bezog sich nur darauf, dass in der
Aufgabenstellung die Ebene die Gleichung
3x+6y+6z=12
hatte (was man übrigens noch mit 3 kürzen könnte bzw. sollte),
dass du aber in der nachfolgenden Rechnung von der Gleichung
3x+6y+4z=12
ausgehst...
Der Punkt(5/5/5) hat von der ersten Ebene den Abstand d=7,
von der zweiten einen solchen von 6.768.
Deine Rechnungen habe ich nicht im Detail geprüft.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Mo 09.06.2008 | | Autor: | arser |
Ja, Tippfehler von mir. Danke.
Sollte 3x+6y+4z=12 heissen.
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Obwohl ich mich in MatLab nicht auskenne, habe ich
deine Rechnung jetzt nochmals angeschaut.
Möglicherweise ist sie doch einigermassen "verkorkst",
und die "zu-Fuss-Alternative" wäre einfacher und
sicherer gewesen.
Die Nebenbedingung, dass P(x,y,z) in E liegen soll, musst
du nur einmal anwenden, um von den zuerst 3 Variablen
x,y,z auf zwei (z.B. x und y) runterzukommen.
Dann ist
[mm] d(x,y)=(x-5)^2+(y-5)^2+(2+0.75x+1.5y)^2
[/mm]
Um das Extremum zu finden, müssen jetzt nur die
beiden partiellen Ableitungen bestimmt
und gleich null gesetzt werden, also:
[mm] d_x=0 [/mm] und [mm] d_y=0
[/mm]
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Di 10.06.2008 | | Autor: | arser |
Danke! Das ist es. Funktioniert!
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