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| Aufgabe | Finden Sie drei Zahlen x, y und z, deren Summe 48 ist und deren Produkt maximal ist.Die Bedingung an die Summe der drei Zahlen erlaubt es eine der Zahlen explizit auszudrücken–Einsetzen dieses Ausdrucks in die
zu maximierende Funktion liefert ein Extremalproblem in zwei Variablen.
Es ist direkt zu lösen ohne Lagrange |
Das heißt doch
x+y+z=48 wobei ich für z.B. für x einen beliebigen wert nehmen darf
aber wie lautet meine zweite gleichung
x*y*z=max ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo MathePhobie!
Deine Hauptbedingung lautet:
$$p(x,y,z) \ = \ x*y*z$$
Dieser Term soll maximiert werden. Setze nun die umgestellte Nebenbedingung $z \ = \ 48-x-y$ ein und bilde die partiellen Ableitungen:
$$p(x,y) \ = \ x*y*(48-x-y) \ = \ [mm] 48*x*y-x^2*y-x*y^2$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | p(x)=48x-2x-x [mm] \Rightarrow [/mm] x= -45
p(y)=48y-y-2y [mm] \Rightarrow [/mm] y= -45 [mm] \Rightarrow [/mm] z= -42 |
Irgendwie stimmt da was nicht :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo MathePhobie!
Deine partiellen Ableitungen stimmen nicht. Du musst doch die jeweils "andere Variable" (nach welcher gerade nicht differenziert wird) als konstant ansehen.
[mm] $$p_x(x,y) [/mm] \ = \ [mm] 48*y-2*x*y-y^2$$
[/mm]
[mm] $$p_y(x,y) [/mm] \ = \ [mm] 48*x-x^2-2*x*y$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Ja habe es grade auch bemerkt :)
war zu schnell unterwegs
es kommt raus
x= 24 y=-12 z=36
vielen dank Herr Loddar, Sie waren mir eine große Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo MathePhobie!
Da musst Du Dich irgendwo verrechnet haben. Denn Dein Produkt ist nunmehr negativ, und damit wohl kaum maximal.
Ich erhalte als Lösung: $x \ = \ y \ = \ z \ = \ 16$ .
Gruß
Loddar
PS: Du darfst hier im Forum alle mit "Du" anschreiben.
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| Aufgabe | fx= [mm] 48y-2xy-y^2
[/mm]
fxx=-2y
fxy=48-2x-2y
[mm] fy=48x-x^2-2xy
[/mm]
fyy=-2x
fyx=48-2x-2y |
Ich komme nicht auf meinen Fehler! Kannst du mir bitte weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo MathePhobie!
Die partiellen Ableitungen sind richtig. Betrachten wir nun:
[mm] $$p_x(x,y) [/mm] \ = \ [mm] 48*y-2*x*y-y^2 [/mm] \ = \ y*(48-2x-y) \ = \ 0$$
[mm] $$p_y(x,y) [/mm] \ = \ [mm] 48*x-x^2-2*x*y [/mm] \ = \ x*(48-x-2y) \ = \ 0$$
Aus der 1. Gleichung folgt (u.a.):
$$y \ = \ 48-2x$$
Setze dies in die 2. (Teil-)Gleichung ein:
$$48-x-2*(48-2x) \ = \ ... \ = \ 0$$
Die weiteren Teillösungen wie z.B. $x \ = \ 0$ , $y \ = \ 0$ habe ich nunmehr außen vor gelassen.
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | y= 48-2x aus der ersten Gl.
x(48-x-96+4x) [mm] \Rightarrow [/mm] x(-48+3x)=0 durch x dividiert [mm] \Rightarrow [/mm] -48+3x [mm] \Rightarrow [/mm] x=y=z=16 |
Hoffe es passt jetzt :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo MathePhobie!
> y= 48-2x aus der ersten Gl.
> x(48-x-96+4x) [mm]\Rightarrow[/mm] x(-48+3x)=0 durch x dividiert
*räusper* Nicht durch $x_$ teilen. Damit verlierst du eine mögliche Lösung.
Das Teilen geht nur für $x \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ .
Also musst Du rein fomrell den Fall $x \ = \ 0$ noch gesondert betrachten.
> [mm]\Rightarrow[/mm] -48+3x [mm]\Rightarrow[/mm] x=y=z=16
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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Letze Frage: Wie kriege ich dann aus x(48-x-2y) mein x= ... wenn ich nicht durch x dividieren darf, das gleiche Problem habe ich bei einer anderen Fragestellung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo MathePhobie!
> Letze Frage: Wie kriege ich dann aus x(48-x-2y) mein x= ...
Es heißt ja: $x*(48-x-2y) \ [mm] \red{= \ 0}$ [/mm] .
Wende nun das Prinzip des Nullproduktes an. Demnach ist ein Produkt genau dann gleich Null, wenn (mind.) einer der Faktoren gleich Null wird.
Das heißt hier:
$$x \ = \ 0 \ \ \ [mm] \text{oder} [/mm] \ \ \ 48-x-2y \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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