Extremwertaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Durch [mm] f_{t}(x)=x^3-(4t-t^3)x^2 [/mm] ; [mm] t\ge0 [/mm] ist eine Funktionsschar gegeben.
Für welchen Wert von t liegt der Wendepunkt am "tiefsten"? |
Diese Aufgabe soll ich beweisen.
Wie kann ich eine Funktion aufstellen, die die "höhe" eines Wendepunktes angibt, sodass ich von dieser das Minimum berechnen kann und wie beweise ich dann, dass das dann auch alles Wendepunkte waren und keine fehlen?
Schonmal Vielen Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Do 04.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Bestimme zuerst den Wendepunkt [mm] W_{t}(x_{w_{t}};y_{w_{t}})
[/mm]
Und dann bestimme den Tiefpunkt der von t abhängigen y-Koordinate, also der Funktion [mm] y_{w}(t)
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
Wie mache ich das genau?
Ich kann damit für einen bestimmten Wendepunkt einer bestimmten Funktion den Y-Wert errechnen, doch wie macht man das allgemein für alle t? Ich verstehs noch nicht so ganz.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Do 04.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Highfreak!
Berechne zunächst allgemein den Wendepunkt mit dem Parameter $t_$ .
Wenn Du hier den zugehörigen Funktionswert [mm] $y_w [/mm] \ = \ y(t) \ = \ [mm] f(x_w)$ [/mm] ermittelst, hast Du einen Zielfunktion, mit welcher Du eine Extremwertberechnung durchführen kannst.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Ich komme einfach nicht auf einen Weg, die Koordinaten eines Wendepunktes in abhängigkeit von t anzugeben.
Für ein bestimmtes t kann ich den Wendepunkt ja anhand der hinreichenenden Bedingung für Wendepunkte bestimmen:
f''(x)=0
[mm] f'''(x)\not=0
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Do 04.02.2010 | | Autor: | chrisno |
> $f''(x)=0$
> [mm]f'''(x)\not=0[/mm]
Nun tippe hier mal $f'(x), f''(x), f'''(x)$ ein.
|
|
|
| |
|
[mm] f'(x)=2x^2-4t*2x-3t^2*x
[/mm]
f''(x)=4x-6-6t
f'''(x)=-8
Is das richtig so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Do 04.02.2010 | | Autor: | chrisno |
Nein. Bei der Suche nach dem Wendepunkt ist t eine Konstante.
f ist eine Funktion von x. t ist ein Parameter. Stell Dir das meinetwegen so vor, dass noch nicht festgelgt ist, ob da 2, 3 oder sonst etwas stehen soll und daher t als Platzhalter geblieben ist.
Leite also [mm] x^3, x^2 [/mm] und x wie immer ab.
|
|
|
| |
|
[mm] f'(x)=3x^2-(4t-t^3)*2x
[/mm]
[mm] f''(x)=6x-(4t-t^3)*2
[/mm]
[mm] f'''(x)=6-(4t-t^3)
[/mm]
So? Macht irgendwie auch keinen Sinn, ich verstehe noch nicht ganz, wie man da t erhalten soll.
|
|
|
| |
|
Nu mal flott weiter. Es gibt da eine notwendige Bedingung für Wendepunkte. Daraus kann man x bekommen, meinetwegen als eine Funktion von t.
Da das Minimum gefragt ist, benutzt man schließlich die notwendige Bedingung für Extrema ... fertig.
|
|
|
| |
|
Ableitung von Funktionen mit einem Parameter haben wir noch nicht.
Daraus folgt: [mm] 0=6x-(4t-t^3)*2
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Do 04.02.2010 | | Autor: | chrisno |
> Ableitung von Funktionen mit einem Parameter haben wir noch
> nicht.
Ich habe oben versucht, Dir das zu erklären. t ist im Moment eine Konstante. Wenn Du damit nicht klar kommst, dann setze anstelle von t eine 3 ein, die Du rot schreibst. Diese 3 darfst Du nicht mit anderen Zahlen zusammenfassen. Dann rechenst Du ganz normal. Am Ende setzt Du wieder ein t an die Stelle der roten 3. Es könnte ja auch eine 2 oder etwas anderes sein.
> Daraus folgt: [mm]0=6x-(4t-t^3)*2[/mm]
was folgt daraus für x? x = ?
|
|
|
| |
|
[mm] x=\bruch{-(4t-t^3)*2}{6}
[/mm]
Heißt das, dass das Minimum von
[mm] f(t)=((-(4t-t^3)*2)/6)^3-(4t-t ^3)*((-(4t-t^3)*2)/6)^2
[/mm]
die "tiefste" Wendestelle ist und man dies einsetzt und dann t hat?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Do 04.02.2010 | | Autor: | chrisno |
Ich denke, Du bist auf dem richtigen Weg. Schnell noch abklären:
$f''' [mm] \ne [/mm] 0$ weil ....
> [mm]x=\bruch{-(4t-t^3)*2}{6}[/mm]
> Heißt das, dass das Minimum von
> [mm]f(t)=((-(4t-t^3)*2)/6)^3-(4t-t ^3)*((-(4t-t^3)*2)/6)^2[/mm]
Erst einmal hast Du nun den Funktionswert des Wendepunkts
ausgerechnet. Der ändert sich, je nachdem, welches t benutzt wird.
Nun kommt der Umstieg. Bisher war t eine Konstante. Nun wird es zu der Variablen.
>
> die "tiefste" Wendestelle ist und man dies einsetzt und
> dann t hat?
Du hast f(t) geschrieben. Nun suchst Du das t, für das f(t) am kleinsten wird. Also: Ableiten, dabei beachten, dass nun t die Variable ist.
|
|
|
| |
|
Welche Gleichung nutze ich für f'''=0 ?
[mm] f_{t}(x) [/mm] oder f(x)?
Und wozu am Ende ableiten, ich kann doch von der Funktion direkt das Minimum bestimmen und dann zu dem minimalen Funktionswert die Funktionsstelle bestimmen, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Do 04.02.2010 | | Autor: | chrisno |
> Welche Gleichung nutze ich für f'''=0 ?
Du hast oben doch geschrieben, dass $f''' [mm] \ne [/mm] 0$ sein muss, damit auch sichergestellt ist, dass es eine Wendestelle ist.
Da, wenn Du Deine Rechnung korrigierst, $f'''(x) = 6$ ist die hinreichende Bedingung erfüllt.
> Und wozu am Ende ableiten, ich kann doch von der Funktion
> direkt das Minimum bestimmen und dann zu dem minimalen
> Funktionswert die Funktionsstelle bestimmen, oder?
Wenn Du das so kannst, na klar. Ich kann an dem Ausdruck überhaupt nicht erkennen, für welches t er minimal wird. Ich müsste erst einmal aufräumen und dann weiterdenken.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Do 04.02.2010 | | Autor: | Highfreak |
Ja, händisch kann ichs auch nciht direkt ablesen, aber an solchen Stellen dürfen wir nen GTR benutzen.
Vielen Dank für die Hilfe.
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Was passiert beim Ableiten einer Konstanten?
