Extremwertaufgabe 2 Def. Ber. < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bei der Herstellung von zylindrischen 1 Liter Dosen soll möglichst wenig Weißblech verbraucht werden. Wie müssen der Grundkreisradius und die Höhe gewählt werden? (Klebeflächen bleiben unberücksichtigt) |
Was für einen Lösungsansatz gibt es den bei dieser Aufgabe und wie kann man den Definitionsbereich der Aufgabe klären?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 So 08.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi,
Dein Objekt ist ein Zylinder, bei dem das Volumen V vorgegeben ist (das ist die Nebenbedingung) und die Oberfläche O möglichst klein sein soll (das ist die Zielfunktion). Du brauchst jeweils die Formel für V und O. O hängt von 2 Variablen, dem Grundkreisradius r und der Zylinderhöhe h ab. Diese hängen wiederum über die Nebenbedingung zusammen, denn V hängt natürlich auch von r und h ab . Dadurch (und die Tatsache, dass negative Werte für r und h hier keinen Sinn machen) wird auch der Definitionsbereich eingeschränkt.
Hilft das schonmal?
LG walde
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| Aufgabe | | Bei der Herstellung von zylindrischen 1 Liter Dosen soll möglichst wenig Weißblech verbraucht werden. Wie müssen der Grundkreisradius und die Höhe gewählt werden? (Klebeflächen bleiben unberücksichtigt) |
Mein Lösungsansatz war folgendermaßen:
1.Gegeben:
O =M + 2*G
V =G*h
1000 =Pi*r²*h
G =Pi*r²
M =2*Pi*h
Hauptfunktion: A=2*Pi*r² + 2*Pi*r*h
Nebenfunktion: h=1000/Pi*r²
Zielfunktion: A(r)= 2*Pi*r² + 2*Pi*r*(1000/Pi*r²)
A(r)= 2*Pi*r²+2000/r
1.Ableitung: A'(r)=4*Pi*r - 2000/r²
2.Ableitung: A''(r)=4Pi+4000/r³
Extrempunkt bei r=5,419(Tiefpunkt)
Wo muss ich jetzt aber diesen r-Wert einsetzen um auf den dazugehörigen Wert der Höhe komme und dem Wert des Flächeninhaltes(der ja minimal sein sollte)???
Und stimmt alles bis hierhin??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo MFVFBFan11,
> Bei der Herstellung von zylindrischen 1 Liter Dosen soll
> möglichst wenig Weißblech verbraucht werden. Wie müssen
> der Grundkreisradius und die Höhe gewählt werden?
> (Klebeflächen bleiben unberücksichtigt)
> Mein Lösungsansatz war folgendermaßen:
>
> 1.Gegeben:
> O =M + 2*G
> V =G*h
> 1000 =Pi*r²*h
> G =Pi*r²
> M =2*Pi*h
>
> Hauptfunktion: A=2*Pi*r² + 2*Pi*r*h
>
Hauptfunktion: [mm]A=2*\pi*r^{2}+2*\pi*r*h[/mm]
> Nebenfunktion: h=1000/Pi*r²
>
Nebenfunktion:[mm]h=\bruch{1000}{\pi*r^{2}}}[/mm]
> Zielfunktion: A(r)= 2*Pi*r² +
> 2*Pi*r*(1000/Pi*r²)
Zielfunktion: [mm]A=2*\pi*r^{2}+2*\pi*r*\bruch{1000}{\pi*r^{2}}}[/mm]
> A(r)= 2*Pi*r²+2000/r
>
> 1.Ableitung: A'(r)=4*Pi*r - 2000/r²
>
> 2.Ableitung: A''(r)=4Pi+4000/r³
>
> Extrempunkt bei r=5,419(Tiefpunkt)
>
> Wo muss ich jetzt aber diesen r-Wert einsetzen um auf den
> dazugehörigen Wert der Höhe komme und dem Wert des
> Flächeninhaltes(der ja minimal sein sollte)???
>
Die zugehörige Höhe bekonmmst Du aus der Nebenfunktion.
>
> Und stimmt alles bis hierhin??
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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Ok...vielen Dank schon mal für die Korrektur :)
Jetzt hab ich aber noch 2 Fragen:
1.Wenn ich nun den r-Wert in die Nebenbedingung einsetzt komme ich auf eine Höhe von 10,84. Wenn ich den r-Wert in die Zielfunktion einsetzte komme ich auf 553,67. Könnte ich also als Antwort sagen, dass der minimale Verbrauch von Blech bei 553,67 cm² liegt?? wenn man eine Dose nach den gegebenen Bedingungen bauen will?
2.Wie sieht es hier mit dem Definitionsbereich aus. Das ist extrem wichtig für mich, da dass meine eigentliche Aufgabe war. Kann mir jemand nochmal genau erklären was der Definitionsbereich ist und ob es eine allgemeine Regel bei einer Extremwertaufgabe gibt, sodass man auf den Definitionsbereich kommt?
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Hallo MFVFBFan11,
> Ok...vielen Dank schon mal für die Korrektur :)
> Jetzt hab ich aber noch 2 Fragen:
>
> 1.Wenn ich nun den r-Wert in die Nebenbedingung einsetzt
> komme ich auf eine Höhe von 10,84. Wenn ich den r-Wert in
> die Zielfunktion einsetzte komme ich auf 553,67. Könnte
> ich also als Antwort sagen, dass der minimale Verbrauch von
> Blech bei 553,67 cm² liegt?? wenn man eine Dose nach den
> gegebenen Bedingungen bauen will?
>
Ja.
> 2.Wie sieht es hier mit dem Definitionsbereich aus. Das ist
> extrem wichtig für mich, da dass meine eigentliche Aufgabe
> war. Kann mir jemand nochmal genau erklären was der
> Definitionsbereich ist und ob es eine allgemeine Regel bei
> einer Extremwertaufgabe gibt, sodass man auf den
> Definitionsbereich kommt?
Der Definitionsbereich ergibt sich zunächst zu:
[mm]D=\left\{ \left(r,h\right) \in \IR^{2}\left| \right r,h > 0 \right\}[/mm]
Eingeschränkt wird dieser Definitionsbereich
durch die Nebenfunktion [mm]h = \bruch{1000}{\pi*r^{2}}[/mm]
Damit lautet der eingeschränkte Definitionsbereich
[mm]D'=\left\{ \left(r,h\right) \in \IR^{2}\left| \right r > 0 \wedge 0 < h \le \bruch{1000}{\pi*r^{2}} \right\}[/mm]
Gruss
MathePower
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> Der Definitionsbereich ergibt sich zunächst zu:
>
> [mm]D=\left\{ \left(r,h\right) \in \IR^{2}\left| \right r,h > 0 \right\}[/mm]
>
Was bedeutet die ² bei R²??
> Eingeschränkt wird dieser Definitionsbereich
> durch die Nebenfunktion [mm]h = \bruch{1000}{\pi*r^{2}}[/mm]
>
> Damit lautet der eingeschränkte Definitionsbereich
>
> [mm]D'=\left\{ \left(r,h\right) \in \IR^{2}\left| \right r > 0 \wedge 0 < h \le \bruch{1000}{\pi*r^{2}} \right\}[/mm]
Und wieso wird der Definitionsbereich dann so eingeschränkt, dass h größergleich 1000/Pi*r² sein muss
Und was sind hier die Randextrema???
Liebe Grüße MFVFBFan11
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Hallo MFVFBFan11,
> > Der Definitionsbereich ergibt sich zunächst zu:
> >
> > [mm]D=\left\{ \left(r,h\right) \in \IR^{2}\left| \right r,h > 0 \right\}[/mm]
>
> >
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> Was bedeutet die ² bei R²??
>
[mm]\IR^{2}[/mm] ist das kartesische Produkt zweier unendlicher Intervalle:
[mm]\IR^{2}=\left]-\infty, +\infty\right[ \times \left]-\infty, +\infty\right[[/mm]
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> > Eingeschränkt wird dieser Definitionsbereich
> > durch die Nebenfunktion [mm]h = \bruch{1000}{\pi*r^{2}}[/mm]
> >
> > Damit lautet der eingeschränkte Definitionsbereich
> >
> > [mm]D'=\left\{ \left(r,h\right) \in \IR^{2}\left| \right r > 0 \wedge 0 < h \le \bruch{1000}{\pi*r^{2}} \right\}[/mm]
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> Und wieso wird der Definitionsbereich dann so
> eingeschränkt, dass h größergleich 1000/Pi*r² sein
> muss
>
>
> Und was sind hier die Randextrema???
>
Randextrema treten hier für [mm]h=\bruch{1000}{\pi*r^{2}}[/mm] auf.
> Liebe Grüße MFVFBFan11
>
Gruss
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